Топологическая производная - Topological derivative

В топологическая производная концептуально производная формы функционала относительно бесконечно малых изменений в ее топологии, таких как добавление бесконечно малого отверстия или трещины. При использовании в более высоких измерениях, чем один, термин топологический градиент также используется для обозначения члена первого порядка топологического асимптотического разложения, имеющего дело только с бесконечно малыми возмущениями сингулярной области. Он имеет приложения в оптимизация формы, оптимизация топологии, обработка изображений и механическое моделирование.

Определение

Позволять ${displaystyle Omega}$ открытая ограниченная область ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, с участием ${displaystyle dgeq 2}$, который подвержен негладкому возмущению, ограниченному небольшой областью ${displaystyle omega _ {varepsilon} ({ilde {x}}) = {ilde {x}} + varepsilon omega}$ размера ${displaystyle varepsilon}$ с ${displaystyle {ilde {x}}}$ произвольная точка ${displaystyle Omega}$ и ${displaystyle omega}$ фиксированная область ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Позволять ${displaystyle Psi}$ - характеристическая функция, связанная с невозмущенной областью, и ${displaystyle Psi _ {varepsilon}}$ быть характеристической функцией, связанной с перфорированной областью ${displaystyle Omega _ {varepsilon} = Omega ackslash {overline {omega _ {varepsilon}}}}$. Заданная форма функционала ${displaystyle Phi (Psi _ {varepsilon} ({ilde {x}}))}$ связанная с топологически возмущенной областью, допускает следующее топологическое асимптотическое разложение:

${displaystyle Phi (Psi _ {varepsilon} ({ilde {x}})) = Phi (Psi) + f (varepsilon) g ({ilde {x}}) + o (f (varepsilon))}$

где ${displaystyle Phi (Psi)}$ - функционал формы, связанный с эталонной областью, ${displaystyle f (varepsilon)}$ - положительная поправочная функция первого порядка от ${displaystyle Phi (Psi)}$ и ${displaystyle o (f (varepsilon))}$ это остаток. Функция ${displaystyle g ({ilde {x}})}$ называется топологической производной от ${displaystyle Phi}$ в ${displaystyle {ilde {x}}}$.

Приложения

Строительная механика

Топологическая производная может применяться к задачам оптимизации формы в строительной механике.^[1] Топологическую производную можно рассматривать как сингулярный предел производной формы. Это обобщение этого классического инструмента оптимизации формы.^[2] Оптимизация формы связана с поиском оптимальной формы. То есть найти ${displaystyle Omega}$ минимизировать некоторые скалярные значения целевая функция, ${displaystyle J (Omega)}$. Технику топологической производной можно сочетать с метод установки уровня.^[3]

В 2005 г. топологическое асимптотическое разложение для Уравнение лапласа относительно внедрения короткой трещины внутрь плоского домена. Он позволяет обнаруживать и локализовать трещины для простой модельной задачи: уравнения стационарной теплопроводности с наложенным тепловым потоком и температурой, измеренной на границе.^[4] Топологическая производная была полностью разработана для широкого круга дифференциальных операторов второго порядка, а в 2011 году она была применена к Проблема изгиба пластины Кирхгофа с оператором четвертого порядка.^[5]

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2011 г.)

Обработка изображений

В области обработки изображений в 2006 г. топологическая производная использовалась для выполнения обнаружение края и восстановление изображения. Изучено влияние изоляционной трещины в домене. Топологическая чувствительность дает информацию о краях изображения. Представленный алгоритм не является итеративным и благодаря использованию спектральных методов имеет короткое время вычислений.^[6] Только ${displaystyle O (Nlog (N))}$ операции необходимы для обнаружения краев, где ${displaystyle N}$ это количество пикселей.^[7] В последующие годы рассматривались и другие проблемы: классификация, сегментация, рисование и сверхвысокое разрешение.^{[7][8][9][10][11]} Этот подход может быть применен к серым или цветным изображениям.^[12] До 2010 г. для реконструкции изображений использовалась изотропная диффузия. Топологический градиент также может обеспечивать ориентацию кромок, и эта информация может использоваться для выполнения анизотропная диффузия.^[13]

В 2012 году представлена ​​общая основа для реконструкции изображения. ${displaystyle uin L ^ {2} (Омега)}$ учитывая некоторые шумные наблюдения ${displaystyle Lu + n}$ в гильбертовом пространстве ${displaystyle E}$ где ${displaystyle Omega}$ это область, в которой изображение ${displaystyle u}$ определено.^[11] Смотровая площадка ${displaystyle E}$ зависит от конкретного приложения, а также от оператора линейного наблюдения ${displaystyle L: L ^ {2} (Omega) ightarrow E}$. Норма на пространстве ${displaystyle E}$ является ${displaystyle |. | _ {E}}$. Идея восстановления исходного изображения заключается в минимизации следующего функционала для ${displaystyle uin H ^ {1} (Omega)}$:

${displaystyle | C ^ {1/2} abla u | _ {L ^ {2} (Omega)} ^ {2} + | Lu-v | _ {E} ^ {2}}$

где ${displaystyle C}$ - положительно определенный тензор. Первый член уравнения гарантирует, что восстановленное изображение ${displaystyle u}$ является регулярным, а второй член измеряет несоответствие с данными. В этой общей структуре могут выполняться различные типы реконструкции изображения, такие как^[11]

• шумоподавление изображения с ${displaystyle E = L ^ {2} (Омега)}$ и ${displaystyle Lu = u}$,
• шумоподавление и удаление размытия с помощью ${displaystyle E = L ^ {2} (Омега)}$ и ${displaystyle Lu = phi ast u}$ с ${displaystyle phi}$ а Размытость или Размытие по Гауссу,
• рисование изображения с ${displaystyle E = L ^ {2} (Omega, ackslash omega)}$ и ${displaystyle Lu = u | _ {Omega ackslash omega}}$, подмножество ${displaystyle omega subset Omega}$ - это область, в которой изображение необходимо восстановить.

В этом контексте асимптотическое разложение функции стоимости ${displaystyle J_ {Omega} (u_ {Omega}) = {frac {1} {2}} int _ {Omega} u_ {Omega} ^ {2}}$ в случае трещины дает ту же топологическую производную ${displaystyle g (x, n) = - pi c (abla u_ {0} .n) (abla p_ {0} .n) -pi (abla u_ {0} .n) ^ {2}}$ где ${displaystyle n}$ нормаль к трещине и ${displaystyle c}$ постоянный коэффициент диффузии. Функции ${displaystyle u_ {0}}$ и ${displaystyle p_ {0}}$ являются решениями следующих прямых и сопряженных задач.^[11]

${displaystyle -abla (cabla u_ {0}) + L ^ {*} Lu_ {0} = L ^ {*} v}$ в ${displaystyle Omega}$ и ${displaystyle partial _ {n} u_ {0} = 0}$ на ${displaystyle partial Omega}$

${displaystyle -abla (cabla p_ {0}) + L ^ {*} Lp_ {0} = Delta u_ {0}}$ в ${displaystyle Omega}$ и ${displaystyle partial _ {n} p_ {0} = 0}$ на ${displaystyle partial Omega}$

Благодаря топологическому градиенту можно обнаружить края и их ориентацию, а также определить соответствующий ${displaystyle C}$ для процесса реконструкции изображения.^[11]

При обработке изображений топологические производные также изучались в случае мультипликативного шума гамма-закона или при наличии пуассоновской статистики.^[14]

Обратные задачи

В 2009 году метод топологического градиента был применен к томографическая реконструкция.^[15] Связь между топологической производной и набором уровня также исследовалась в этом приложении.^[16]

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2011 г.)

использованная литература

Книги

Новотный А.А., Соколовский Я. Топологические производные в оптимизации формы, Springer, 2013.

внешняя ссылка

• Аллер и др. Оптимизация конструкции с использованием топологической чувствительности и чувствительности к форме с помощью метода установки уровня