Оптимизация формы - Википедия - Shape optimization

Оптимизация формы является частью области оптимальный контроль теория. Типичная проблема - найти форма что оптимально в том смысле, что минимизирует определенную стоимость функциональный удовлетворяя данный ограничения. Во многих случаях решаемый функционал зависит от решения данного уравнения в частных производных, определенного в переменной области.

Оптимизация топологии кроме того, касается количества связанных компонентов / границ, принадлежащих домену. Такие методы необходимы, поскольку обычно методы оптимизации формы работают в подмножестве допустимых форм, которые имеют фиксированные топологические свойства, такие как фиксированное количество отверстий в них. Затем методы топологической оптимизации могут помочь обойти ограничения чистой оптимизации формы.

Определение

Математически, оптимизацию формы можно представить как задачу нахождения ограниченное множество ${ displaystyle Omega}$ , сведение к минимуму а функциональный

{ Displaystyle { mathcal {F}} ( Omega)}

,

возможно при условии ограничение формы

{ Displaystyle { mathcal {G}} ( Omega) = 0.}

Обычно нас интересуют наборы ${ displaystyle Omega}$ которые Липшиц или C¹ граница и состоят из конечного числа составные части, что является способом сказать, что мы хотели бы найти довольно приятную форму в качестве решения, а не какой-то беспорядочный набор грубых деталей. Иногда с этой целью необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы обеспечить корректность задачи и уникальность решения.

Оптимизация формы - это бесконечномерная оптимизация проблема. Кроме того, пространство допустимых форм, над которым выполняется оптимизация, не допускает векторное пространство структура, затрудняющая применение традиционных методов оптимизации.

Примеры

Среди всех трехмерных фигур данного объема найдите ту, которая имеет минимальную площадь поверхности. Здесь:
${ Displaystyle { mathcal {F}} ( Omega) = { mbox {Area}} ( partial Omega)}$ ,
с
${ Displaystyle { mathcal {G}} ( Omega) = { mbox {Volume}} ( Omega) = { mbox {const.}}}$
Ответ, данный изопериметрическое неравенство, это мяч.
Найдите форму крыла самолета, которая минимизирует тащить. Здесь ограничениями могут быть прочность крыла или размеры крыла.
Найдите форму различных механических конструкций, которые могут сопротивляться заданному стресс при минимальной массе / объёме.
Для известного трехмерного объекта с фиксированным источником излучения внутри выведите форму и размер источника на основе измерений, выполненных на части границы объекта. Формулировка этого обратная задача с помощью наименьших квадратов подгонка приводит к проблеме оптимизации формы.

Методы

Задачи оптимизации формы обычно решаются численно, используя итерационные методы. То есть человек начинает с первоначального предположения о форме, а затем постепенно ее развивает, пока она не приобретет оптимальную форму.

Отслеживание формы

Пример: оптимизация формы применительно к геометрии здания. Пример предоставлен Formsolver.com

Пример: семейства форм оптимизации, полученные в результате различных целевых параметров. Пример предоставлен Formsolver.com

Чтобы решить задачу оптимизации формы, необходимо найти способ представить форму в память компьютера, и проследите за его развитием. Обычно используется несколько подходов.

Один из подходов - следовать границам формы. Для этого можно сделать выборку границы формы относительно плотным и однородным образом, то есть рассмотреть достаточно точек, чтобы получить достаточно точный контур формы. Затем можно развивать форму, постепенно перемещая граничные точки. Это называется Лагранжев подход.

Другой подход - рассмотреть функция определяется в прямоугольной рамке вокруг фигуры, которая положительна внутри фигуры, равна нулю на границе фигуры и отрицательна вне фигуры. Затем можно развить эту функцию вместо самой формы. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на коробке и выбрать функцию в точках сетки. По мере развития формы точки сетки не меняются; изменяются только значения функции в точках сетки. Такой подход с использованием фиксированной сетки называется Эйлеров подход. Идея использования функции для представления формы лежит в основе метод установки уровня.

Третий подход - рассматривать эволюцию формы как проблему потока. То есть можно представить, что форма сделана из пластического материала, постепенно деформирующегося, так что любую точку внутри или на границе формы всегда можно проследить до точки исходной формы взаимно однозначным образом. Математически, если ${ displaystyle Omega _ {0}}$ - исходная форма, а ${ displaystyle Omega _ {t}}$ форма во времени т, считается диффеоморфизмы

{ displaystyle f_ {t}: Omega _ {0} to Omega _ {t}, { mbox {for}} 0 leq t leq t_ {0}.}

Идея снова в том, что формы - это сложные объекты, с которыми нужно иметь дело напрямую, поэтому манипулируйте ими с помощью функции.

Итерационные методы с использованием градиентов формы

Рассмотрим гладкое поле скоростей ${ displaystyle V}$ и семья преобразований ${ displaystyle T_ {s}}$ исходного домена ${ displaystyle Omega _ {0}}$ под полем скорости ${ displaystyle V}$ :

{ displaystyle x (0) = x_ {0} in Omega _ {0}, quad x '(s) = V (x (s)), quad T_ {s} (x_ {0}) = x (s), quad s geq 0}

,

и обозначим

{ displaystyle Omega _ {0} mapsto T_ {s} ( Omega _ {0}) = Omega _ {s}.}

Тогда Gâteaux или производная формы от ${ Displaystyle { mathcal {F}} ( Omega)}$ в ${ displaystyle Omega _ {0}}$ по форме является пределом

{ displaystyle d { mathcal {F}} ( Omega _ {0}; V) = lim _ {s to 0} { frac {{ mathcal {F}} ( Omega _ {s}) - { mathcal {F}} ( Omega _ {0})} {s}}}

если этот предел существует. Если к тому же производная линейна по ${ displaystyle V}$ , есть уникальный элемент ${ displaystyle nabla { mathcal {F}} in L ^ {2} ( partial Omega _ {0})}$ и

{ displaystyle d { mathcal {F}} ( Omega _ {0}; V) = langle nabla { mathcal {F}}, V rangle _ { partial Omega _ {0}}}

куда ${ displaystyle nabla { mathcal {F}}}$ называется градиентом формы. Это дает естественное представление о градиентный спуск, где граница ${ displaystyle partial Omega}$ эволюционирует в направлении отрицательного градиента формы, чтобы уменьшить значение функционала стоимости. Аналогичным образом можно определить производные более высокого порядка, что приведет к методам, подобным Ньютону.

Обычно предпочтение отдается градиентному спуску, даже если требуется большое количество итераций, потому что вычислить производную второго порядка (то есть Гессен ) целевого функционала ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .

Если задача оптимизации формы имеет ограничения, то есть функционал ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ присутствует, нужно найти способы превратить ограниченную задачу в неограниченную. Иногда идеи, основанные на Множители Лагранжа может работать.

Параметризация геометрии

Оптимизация формы может быть решена с использованием стандартных методов оптимизации, если задана параметризация геометрии. Такая параметризация очень важна в области CAE, где целевые функции обычно представляют собой сложные функции, вычисляемые с использованием численных моделей (CFD, FEA, ...). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации модели САПР в сочетании с полной автоматизацией всего процесса, необходимого для оценки функции (построение сетки, решение и обработка результатов). Морфинг сетки - правильный выбор для сложных проблем, который решает типичные проблемы, связанные с повторная сетка такие как разрывы в вычисленных функциях цели и ограничений.^[1]В этом случае параметризация определяется после этапа построения сетки, действуя непосредственно на числовую модель, используемую для расчета, которая изменяется с использованием методов обновления сетки. Для морфинга сетки доступно несколько алгоритмов (деформирующие объемы, псевдотвердые тела, радиальные базисные функции Выбор подхода параметризации зависит в основном от размера проблемы: подход CAD предпочтительнее для моделей малого и среднего размера, в то время как подход морфинга сетки является лучшим (а иногда и единственно возможным) для больших и очень больших размеров. Многоцелевая оптимизация Парето (NSGA II) может быть использована как мощный подход для оптимизации формы. В этом отношении подход оптимизации Парето демонстрирует полезные преимущества в методе проектирования, такие как эффект ограничения площади, который другие многоцелевые оптимизации не могут объявить. Подход с использованием штрафной функции является эффективным методом, который можно использовать на первом этапе оптимизации. В этом методе задача проектирования ограниченной формы адаптируется к задаче без ограничений с использованием ограничений в целевой функции в качестве штрафного коэффициента. Фактор штрафа по времени в большинстве случаев зависит от количества вариаций ограничений, а не от количества ограничений. В настоящей задаче оптимизации применяется методика реального кодирования GA. Поэтому расчеты основаны на реальных значениях переменных. ^[2]

Смотрите также

Источники

Аллер, Г. (2002) Оптимизация формы методом гомогенизации. Прикладные математические науки 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5
Ашок Д. Белегунду, Тирупати Р. Чандрупатла. (2003) Концепции оптимизации и приложения в машиностроении Прентис Холл. ISBN 0-13-031279-7.
Bendsøe M. P .; Зигмунд О. (2003) Оптимизация топологии: теория, методы и приложения. Springer. ISBN 3-540-42992-1.
Burger, M .; Ошер, С. (2005) Обзор методов набора уровней для обратных задач и оптимального проектирования. Европейский журнал прикладной математики, том 16, стр. 263–301.
Delfour, M.C .; Золесио, Ж.-П. (2001) Формы и геометрия - анализ, дифференциальное исчисление и оптимизация. СИАМ. ISBN 0-89871-489-3.
Haslinger, J .; Мякинен, Р. (2003) Введение в оптимизацию формы: теория, приближение и вычисления. Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-536-9.
Laporte, E .; Ле Тальек, П. (2003) Численные методы анализа чувствительности и оптимизации формы. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2.
Mohammadi, B .; Пиронно, О. (2001) Прикладная оптимизация формы для жидкостей. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850743-7.
Саймон Дж. (1980) Дифференцирование по области в краевых задачах. Нумер. Fuct. Анальный. and Optimiz., 2 (7 и 8), 649-687 (1980).

внешняя ссылка

Оптопо Групп - Моделирование и библиография группы оптопо в Ecole Polytechnique (Франция). Метод гомогенизации и метод установки уровня.

[wilke-1] Wilke, D.N .; Кок, С .; Гроенволд, А.А. (2010) Применение методов градиентной оптимизации для задач, дискретизируемых непостоянными методами. Структурная и междисциплинарная оптимизация, Vol. 40, 433-451.

[ssttds-2] Talebitooti, R .; shojaeefard, M.H .; Ярмохаммадисатри, Садех (2015). «Оптимизация формы цилиндрического резервуара с использованием b-шлицевых кривых». Компьютер и жидкости. 109: 100–112. Дои:10.1016 / j.compfluid.2014.12.004.

[1]

[2]