Модуль без кручения - Torsionless module

В абстрактная алгебра, а модуль M через звенеть р называется без кручения если его можно встроить в некоторые прямой продукт р^я. Эквивалентно M без кручения, если каждый ненулевой элемент M имеет ненулевое изображение при некоторых р-линейный функционал ж:

{ displaystyle f in M ​​^ { ast} = operatorname {Hom} _ {R} (M, R), quad f (m) neq 0.}

Это понятие было введено Хайман Басс.^{[нужна цитата ]}

Свойства и примеры

Модуль без кручения тогда и только тогда, когда каноническое отображение в его двойное двойственное,

{ displaystyle M to M ^ { ast ast} = operatorname {Hom} _ {R} (M ^ { ast}, R), quad m mapsto (f mapsto f (m)), m in M, f in M ​​^ { ast},}

является инъективный. Если это отображение биективно, то модуль называется рефлексивный. По этой причине модули без кручения также известны как полурефлексивный.

Единый бесплатный модуль без кручения. В более общем плане прямая сумма модулей без кручения - без кручения.
Свободный модуль рефлексивен, если он конечно порожденный, но для некоторых колец существуют также бесконечно порожденные свободные модули, которые рефлексивны. Например, прямая сумма счетного числа копий целых чисел является рефлексивным модулем над целыми числами, см. Например.^[1]

Подмодуль модуля без кручения не имеет кручения. В частности, любые проективный модуль над р без кручения; любой левый идеал р является левым модулем без кручения, и аналогично для правых идеалов.
Любой модуль без кручения над домен это модуль без кручения, но обратное неверно, так как Q без кручения Z-модуль, который нет без кручения.
Если р это коммутативное кольцо который является область целостности и M это конечно порожденный модуль без кручения, то M может быть встроен в р^п и поэтому M без кручения.
Предположим, что N это право р-модуль, то его дуальный N^∗ имеет структуру левого р-модуль. Получается, что осталось р-модуль без кручения (аналогично, любой правый р-модуль, двойственный к левому р-модуль без кручения).
В дедекиндовской области конечно порожденный модуль рефлексивен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения.^[2]
Позволять р быть нётеровым кольцом и M рефлексивный конечно порожденный модуль над р. потом ${ displaystyle M otimes _ {R} S}$ является рефлексивным модулем над S в любое время S является плоский над р.^[3]

Связь с полунаследственными кольцами

Стивен Чейз доказал следующую характеристику полунаследственные кольца в связи с модулями без кручения:

Для любого кольца р, следующие условия эквивалентны:^[4]

р является полунаследственным слева.
Все без кручения правые р-модули плоский.
Кольцо р осталось последовательный и удовлетворяет любому из четырех условий, которые, как известно, эквивалентны:
- Все правильные идеалы р плоские.
- Все левые идеалы р плоские.
- Подмодули правильной квартиры р-модули плоские.
- Подмодули всей левой квартиры р-модули плоские.

(Смесь прилагательных левого и правого в утверждении нет ошибка.)

Смотрите также

Рекомендации

^ Эклоф П., Меклер А. Х., Почти свободные модули, Математическая библиотека Северной Голландии, т. 46, Северная Голландия, Амстердам 1990
^ Доказательство: если M рефлексивен, он не имеет кручения, поэтому является подмодулем конечно порожденного проективного модуля и, следовательно, проективен (полунаследственное условие). Наоборот, над дедекиндовской областью конечно порожденный модуль без кручения является проективным, а проективный модуль рефлексивным (существование двойная основа ).
^ Бурбаки и Ч. VII, § 4, п. 2. Предложение 8.
^ Лам 1999, стр 146.

Глава VII Бурбаки, Николас (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 3-540-64239-0
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, МИСТЕР 1653294

[1] Эклоф П., Меклер А. Х., Почти свободные модули, Математическая библиотека Северной Голландии, т. 46, Северная Голландия, Амстердам 1990

[2] Доказательство: если M рефлексивен, он не имеет кручения, поэтому является подмодулем конечно порожденного проективного модуля и, следовательно, проективен (полунаследственное условие). Наоборот, над дедекиндовской областью конечно порожденный модуль без кручения является проективным, а проективный модуль рефлексивным (существование двойная основа ).

[3] Бурбаки и Ч. VII, § 4, п. 2. Предложение 8.

[FOOTNOTELam1999p_146-4] Лам 1999, стр 146.

[1]

[2]

[3]

[4]