Уменьшение общей вариации - Total variation diminishing

В численные методы, уменьшение общей вариации (TVD) является собственностью определенных дискретизация схемы, используемые для решения гиперболические уравнения в частных производных. Наиболее заметное применение этого метода в вычислительная гидродинамика. Концепция TVD была представлена Ами Хартен.^[1]

Уравнение модели

В системах, описанных уравнения в частных производных, например следующие гиперболические уравнение переноса,

{displaystyle {frac {partial u} {partial t}} + a {frac {partial u} {partial x}} = 0,}

то полное изменение (ТВ) дается

{displaystyle TV (u (cdot, t)) = int left | {frac {partial u} {partial x}} ight | mathrm {d} x,}

а полное изменение для дискретного случая равно,

{displaystyle TV (u ^ {n}) = TV (u (cdot, t ^ {n})) = sum _ {j} left | u_ {j + 1} ^ {n} -u_ {j} ^ {n } право |.}

куда ${displaystyle u_ {j} ^ {n} = u (x_ {j}, t ^ {n})}$ .

Численный метод называется общее уменьшение вариации (TVD) если,

{displaystyle TVleft (u ^ {n + 1} ight) leq TVleft (u ^ {n} ight).}

Характеристики

Численная схема называется сохраняющей монотонность, если сохраняются следующие свойства:

Если ${displaystyle u ^ {n}}$ монотонно возрастает (или убывает) в пространстве, то ${displaystyle u ^ {n + 1}}$ .

Хартен 1983 доказали следующие свойства численной схемы:

А монотонная схема это TVD, и
Схема TVD монотонность сохранение.

Применение в CFD

В Вычислительная гидродинамика, TVD-схема используется для получения более точных прогнозов ударной волны без каких-либо вводящих в заблуждение колебаний при изменении переменной поля « ${displaystyle phi}$ ”Является прерывистым. Чтобы зафиксировать вариации мелкой сетки ( ${displaystyle Delta x}$ очень маленькие), и вычисления становятся тяжелыми и, следовательно, неэкономичными. Использование грубых сеток с центральная разностная схема, схема против ветра, гибридная разностная схема, и схема степенного закона дает ложные предсказания шока. Схема TVD позволяет более точно прогнозировать ударную нагрузку на грубых сетках, экономя время вычислений, а поскольку схема сохраняет монотонность, в решении отсутствуют паразитные колебания.

Дискретизация

Рассмотрим стационарное одномерное уравнение диффузии конвекции,

{displaystyle abla cdot (ho mathbf {u} phi), = abla cdot (Gamma abla phi) + S_ {phi};}

,

куда ${displaystyle ho}$ это плотность, ${displaystyle mathbf {u}}$ - вектор скорости, ${displaystyle phi}$ перевозится ли имущество, ${displaystyle Gamma}$ - коэффициент диффузии и ${displaystyle S_ {phi}}$ исходный термин, ответственный за создание собственности ${displaystyle phi}$ .

Выполняя баланс потока этого свойства относительно контрольного объема, мы получаем,

{displaystyle int _ {A} mathbf {n} cdot (ho mathbf {u} phi), mathrm {d} A = int _ {A} mathbf {n} cdot (Gamma abla phi), mathrm {d} A + int _ {CV} S_ {phi}, математика {d} V}

{displaystyle;}

Здесь ${displaystyle mathbf {n}}$ нормаль к поверхности контрольного объема.

Игнорируя исходный член, уравнение сводится к следующему:

{displaystyle (ho mathbf {u} phi A) _ {r} - (ho mathbf {u} phi A) _ {l} = left (Gamma A {frac {partial phi} {partial x}} ight) _ {r } -левый (Gamma A {frac {partial phi} {partial x}} ight) _ {l}}

Картинка, показывающая контрольный объем со скоростями на гранях, узлах и расстоянии между ними, где «P» - узел в центре.

Предполагая

{displaystyle {frac {partial phi} {partial x}} = {frac {delta phi} {delta x}}}

и

{displaystyle A_ {r} = A_ {l},}

Уравнение сводится к

{displaystyle (ho mathbf {u} phi) _ {r} - (ho mathbf {u} phi) _ {l}, = left ({frac {Gamma} {delta x}} delta phi ight) _ {r} - left ({frac {Gamma} {delta x}} delta phi ight) _ {l}.}

Сказать,

{displaystyle F_ {r} = (ho mathbf {u}) _ {r}; qquad F_ {l} = (ho mathbf {u}) _ {l};}

{displaystyle D_ {l} = left ({frac {Gamma} {delta x}} ight) _ {l}; qquad D_ {r} = left ({frac {Gamma} {delta x}} ight) _ {r}) ;}

На рисунке:

{displaystyle delta phi _ {r} = phi _ {R} -phi _ {P}; qquad delta x_ {r} = x_ {PR};}

{displaystyle delta phi _ {l} = phi _ {P} -phi _ {L}; qquad delta x_ {l} = x_ {LP};}

Уравнение становится,

{displaystyle F_ {r} phi _ {r} -F_ {l} phi _ {l} = D_ {r} (phi _ {R} -phi _ {P}) - D_ {l} (phi _ {P} -phi _ {L});}

Так же уравнение неразрывности должно быть выполнено в одной из эквивалентных ему форм для этой задачи:

{displaystyle (ho mathbf {u}) _ {r} - (ho mathbf {u}) _ {l}, = 0 Longleftrightarrow F_ {r} -F_ {l} = 0 Longleftrightarrow F_ {r} = F_ {l} = F.}

Предполагая диффузионность является однородным свойством и равным шагом сетки, можно сказать

{displaystyle Gamma _ {l} = Gamma _ {r}; qquad delta x_ {LP} = delta x_ {PR} = delta x,}

мы получили

{displaystyle D_ {l} = D_ {r} = D.}

Далее уравнение сводится к

{displaystyle (phi _ {r} -phi _ {l}) cdot F = Dcdot (phi _ {R} -2phi _ {P} + phi _ {L}).}

Вышеприведенное уравнение можно записать как

{displaystyle (phi _ {r} -phi _ {l}) cdot P = (phi _ {R} -2phi _ {P} + phi _ {L})}

куда

{displaystyle P}

это Число Пекле

{displaystyle P = {frac {F} {D}} = {frac {ho mathbf {u} delta x} {Gamma}}.}

Схема TVD

Схема уменьшения общей вариации^[2]^[3] делает предположение о значениях ${displaystyle phi _ {r}}$ и ${displaystyle phi _ {l}}$ подставляем в дискретизированное уравнение следующим образом:

{displaystyle phi _ {r} cdot P = {frac {1} {2}} (P + | P |) [f_ {r} ^ {+} phi _ {R} + (1-f_ {r} ^ {+ }) phi _ {L}] + {frac {1} {2}} (P- | P |) [f_ {r} ^ {-} phi _ {P} + (1-f_ {r} ^ {- }) phi _ {RR}]}

{displaystyle phi _ {l} cdot P = {frac {1} {2}} (P + | P |) [f_ {l} ^ {+} phi _ {P} + (1-f_ {l} ^ {+ }) phi _ {LL}] + {frac {1} {2}} (P- | P |) [f_ {l} ^ {-} phi _ {L} + (1-f_ {l} ^ {- }) phi _ {R}]}

Где ${displaystyle P}$ - число Пекле и ${displaystyle f}$ - функция взвешивания, определяемая из,

{displaystyle f = fleft ({frac {phi _ {U} -phi _ {UU}} {phi _ {D} -phi _ {UU}}} ight)}

куда ${displaystyle U}$ относится к восходящему потоку, ${displaystyle UU}$ относится к восходящему потоку ${displaystyle U}$ и ${displaystyle D}$ относится к нисходящим потокам.

Обратите внимание, что ${displaystyle f ^ {+}}$ - функция взвешивания, когда поток идет в положительном направлении (т.е. слева направо) и ${displaystyle f ^ {-}}$ - функция взвешивания, когда поток идет в отрицательном направлении справа налево. Так,

{displaystyle {egin {align} & f_ {r} ^ {+} {ext {является функцией}} left ({dfrac {phi _ {P} -phi _ {L}} {phi _ {R} -phi _ {L}}} ight), [10pt] & f_ {r} ^ {-} {ext {является функцией}} left ({dfrac {phi _ {R} -phi _ {RR}} {phi _ { P} -phi _ {RR}}} ight), [10pt] & f_ {l} ^ {+} {ext {является функцией}} left ({dfrac {phi _ {L} -phi _ {LL} } {phi _ {P} -phi _ {LL}}} ight), {ext {and}} [10pt] & f_ {l} ^ {-} {ext {является функцией}} left ({dfrac { phi _ {P} -phi _ {R}} {phi _ {L} -phi _ {R}}} ight) .end {выровнено}}}

Если поток положительный, то число Пекле ${displaystyle P}$ положительный и срок ${displaystyle (P- | P |) = 0}$ , поэтому функция ${displaystyle f ^ {-}}$ не будет играть никакой роли в предположении ${displaystyle phi _ {r}}$ и ${displaystyle phi _ {l}}$ . Аналогично, когда поток идет в отрицательном направлении, ${displaystyle P}$ отрицательный, и термин ${displaystyle (P + | P |) = 0}$ , поэтому функция ${displaystyle f ^ {+}}$ не будет играть никакой роли в предположении ${displaystyle phi _ {r}}$ и ${displaystyle phi _ {r}}$ .

Поэтому он учитывает значения свойств в зависимости от направления потока, а с помощью взвешенных функций пытается достичь монотонности решения, тем самым обеспечивая результаты без ложных ударов.

Ограничения

Монотонные схемы привлекательны для решения инженерных и научных задач, потому что они не дают нефизических решений. Теорема Годунова доказывает, что линейные схемы, сохраняющие монотонность, имеют точность не более первого порядка. Линейные схемы более высокого порядка, хотя и более точны для гладких решений, не являются TVD и имеют тенденцию вносить паразитные колебания (покачивания) там, где возникают разрывы или удары. Чтобы преодолеть эти недостатки, различные высокое разрешение, нелинейный были разработаны методы, часто использующие ограничители потока / наклона.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2, Wiley.
Лэйни, К. Б. (1998), Вычислительная газовая динамика, Cambridge University Press.
Торо, Э. Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики, Springer-Verlag.
Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д.А. и Плетчер Р. Х. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Springer-Verlag.
Анил В. Дата Введение в вычислительную гидродинамику, Cambridge University Press.

[1] Хартен, Ами (1983), "Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения", J. Comput. Phys., 49 (2): 357–393, Дои:10.1016/0021-9991(83)90136-5, HDL:2060/19830002586

[2] Versteeg, H.K .; Малаласекера, В. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов (2-е изд.). Харлоу: Прентис Холл. ISBN 9780131274983.

[3] Блазек, Иржи (2001). Вычислительная гидродинамика: принципы и приложения (1-е изд.). Лондон: Эльзевьер. ISBN 9780080430096.

[1]

[2]

[3]