Полиномы Тушара - Touchard polynomials

В Полиномы Тушара, изученный Жак Тушар  (1939 ), также называемый экспоненциальные полиномы или же Полиномы Белла, составляют полиномиальная последовательность из биномиальный тип определяется

${ displaystyle T_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) x ^ {k} = sum _ {k = 0} ^ {n} left {{п на вершине k} right } x ^ {k},}$

куда ${ Displaystyle S (п, к) = влево {{п на вершине к} вправо }}$это Число Стирлинга второго рода, т.е. количество перегородки набора размера п в k непересекающиеся непустые подмножества.^[1][2][3][4]

Характеристики

Основные свойства

Значение в 1 из п-й многочлен Тушара - это пth Номер звонка, т.е. количество перегородки набора размера п:

${ displaystyle T_ {n} (1) = B_ {n}.}$

Если Икс это случайная переменная с распределение Пуассона с математическим ожиданием λ, то его п-й момент E (Икс^п) = Т_п(λ), что приводит к определению:

${ displaystyle T_ {n} (x) = e ^ {- x} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k} k ^ {n}} {k!}} .}$

Используя этот факт, можно быстро доказать, что это полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип, т.е. удовлетворяет последовательности тождеств:

${ displaystyle T_ {n} ( lambda + mu) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n select k} T_ {k} ( lambda) T_ {nk} ( mu). }$

Многочлены Тушара составляют единственную полиномиальную последовательность биномиального типа с коэффициентом при Икс равно 1 в каждом полиноме.

Многочлены Тушара удовлетворяют формуле типа Родрига:

${ displaystyle T_ {n} left (e ^ {x} right) = e ^ {- e ^ {x}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} ; e ^ {e ^ {x}}.}$

Многочлены Тушара удовлетворяют условию отношение повторения

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x left (1 + { frac {d} {dx}} right) T_ {n} (x)}$

и

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = x sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} T_ {k} (x).}$

В случае Икс = 1, это сводится к рекуррентной формуле для Номера звонков.

С использованием теневое обозначение Т^п(Икс)=Т_п(Икс) эти формулы становятся:

${ Displaystyle Т_ {п} ( лямбда + му) = влево (Т ( лямбда) + Т ( му) вправо) ^ {п},}$

${ Displaystyle T_ {n + 1} (x) = x left (1 + T (x) right) ^ {n}.}$

В производящая функция многочленов Тушара

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} {T_ {n} (x) over n!} t ^ {n} = e ^ {x left (e ^ {t} -1 верно)},}$

что соответствует производящая функция чисел Стирлинга второго рода.

Многочлены Тушара имеют контурный интеграл представление:

${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac {n!} {2 pi i}} oint { frac {e ^ {x ({e ^ {t}} - 1)}} {т ^ {n + 1}}} , dt.}$

Нули

Все нули полиномов Тушара действительны и отрицательны. Этот факт наблюдал Л. Х. Харпер в 1967 году.^[5]

Наименьший ноль ограничен снизу (по модулю) величиной^[6]

${ displaystyle { frac {1} {n}} { binom {n} {2}} + { frac {n-1} {n}} { sqrt {{ binom {n} {2}} ^ {2} - { frac {2n} {n-1}} left ({ binom {n} {3}} + 3 { binom {n} {4}} right)}},}$

хотя предполагается, что наименьший нуль линейно растет с индексом п.

В Мера Малера ${ Displaystyle М (Т_ {п})}$полиномов Тушара можно оценить следующим образом:^[7]

${ Displaystyle { frac { lbrace textstyle {п поверх Omega _ {n}} rbrace} { binom {n} { Omega _ {n}}}} leq M (T_ {n}) leq { sqrt {n + 1}} left {{n attop K_ {n}} right },}$

куда ${ displaystyle Omega _ {n}}$ и ${ displaystyle K_ {n}}$ самые маленькие из двух k индексы такие, что${ Displaystyle lbrace textstyle {п на вершине k} rbrace / { binom {n} {k}}}$ и ${ Displaystyle lbrace textstyle {п поверх k} rbrace}$максимальны соответственно.

Обобщения

• Полный Полином Белла ${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n})}$ можно рассматривать как многомерное обобщение полинома Тушара ${ Displaystyle Т_ {п} (х)}$, поскольку ${ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, dots, x).}$
• Многочлены Тушара (и тем самым Номера звонков ) можно обобщить, используя действительную часть указанного выше интеграла, до нецелого порядка:

  ${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac {n!} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {x { bigl (} e ^ { cos ( theta)} cos ( sin ( theta)) - 1 { bigr)}} cos { bigl (} xe ^ { cos ( theta)} sin ( sin ( theta)) - n theta { bigr)} , d theta ,.}$

Смотрите также

• Полиномы Белла

Рекомендации

• Тушар, Жак (1939), "Sur les циклы подстановок", Acta Mathematica, 70 (1): 243–297, Дои:10.1007 / BF02547349, ISSN  0001-5962, МИСТЕР  1555449