График трапеции - Trapezoid graph

В теория графов, трапециевидные графики находятся графы пересечений из трапеции между двумя горизонтальными линиями. Это класс графов сопоставимости, которые содержат интервальные графики и графы перестановок как подклассы. Граф - это трапециевидный график если существует набор трапеций, соответствующих вершинам графа, такой, что две вершины соединяются ребром тогда и только тогда, когда соответствующие трапеции пересекаются. Графы трапеции были введены Даган, Голумбик, и Пинтер в 1988 году. Существует ${ Displaystyle {O} (п журнал п)}$ алгоритмы хроматического числа, взвешенные независимый набор, покрытие клики и клика с максимальным весом.

Рисунок 1: Трапециевидное представление графа G.

Определения и характеристики

Для канала, пары из двух горизонтальных линий, трапеция между этими линиями определяется двумя точками наверху и двумя точками на нижней линии. Граф является трапециевидным графом, если существует набор трапеций, соответствующих вершинам графа, такой, что две вершины соединяются ребром тогда и только тогда, когда соответствующие трапеции пересекаются. Измерение порядка интервала частично упорядоченного множества, ${ Displaystyle P = (X, <)}$ , - минимальное количество d интервальных порядков P₁ … П_d такое, что P = P₁∩… ∩P_d. Граф несравнимости частично упорядоченного множества ${ Displaystyle P = (X, <)}$ неориентированный граф ${ Displaystyle G = (X, E)}$ куда Икс примыкает к у в G тогда и только тогда, когда Икс и у несравнимы в P. Неориентированный граф является графом трапеций тогда и только тогда, когда он является графом несравнимости частичного порядка, имеющим размерность порядка интервала не больше 2.^[1]

Приложения

Задачи поиска максимальных клик и раскраски графов трапеций связаны с проблемами маршрутизации каналов в СБИС дизайн. При наличии нескольких маркированных клемм на верхней и нижней стороне двустороннего канала клеммы с одинаковой маркировкой будут соединены в общую сеть. Эта цепь может быть представлена трапецией, содержащей крайние правые и крайние левые выводы с одинаковой меткой. Сети могут быть проложены без пересечения тогда и только тогда, когда соответствующие трапеции не пересекаются. Следовательно, количество слоев, необходимых для прокладки цепей без пересечения, равно хроматическому числу графа.

Эквивалентные представления

Представление трапеции

Трапеции можно использовать для представления графика трапеций, используя определение графа трапеций. Трапециевидное представление графика трапеции можно увидеть на рисунке 1.

Коробочное представление

Доминирующие прямоугольники или прямоугольное представление отображают точки на нижней из двух линий представления трапеции как лежащие на Икс-оси и верхней линии лежащей на у- ось евклидовой плоскости. Тогда каждая трапеция соответствует параллельному оси прямоугольнику на плоскости. Используя понятие порядка доминирования (In р^K, Икс говорят, что преобладают у, обозначенный Икс < у, если Икс_я меньше чем у_я за я = 1, …, k), мы говорим, что ящик b доминирует над ящиком b ’ если нижний угол б доминирует над верхним углом b ’. Кроме того, если одна из двух коробок доминирует над другой, мы говорим, что они сопоставимы. В остальном они бесподобны. Таким образом, две трапеции не пересекаются в точности, если их соответствующие прямоугольники сопоставимы. Блочное представление полезно, потому что связанный порядок доминирования позволяет использовать алгоритмы развертки линии.^[2]

Графики битолерантности

Графы битолерантности - это графы несравнимости порядка битолерантности. Порядок является битопереносным, если и только если есть интервалы I_Икс и реальные числа т₁(Икс) и т_р(Икс) присваивается каждой вершине Икс таким образом, что Икс < у тогда и только тогда, когда перекрытие I_Икс и я_у меньше, чем оба т_р(Икс) и т₁(у) и центр I_Икс меньше центра I_у.^[3] В 1993 году Лэнгли показал, что графы ограниченной битопереносимости эквивалентны классу графов трапеций.^[4]

Связь с другими семействами графов

Класс трапециевидных графов должным образом содержит объединение интервальных графов и графов перестановок и эквивалентен графам несравнимости частично упорядоченных множеств, имеющих размерность порядка интервала не более двух. Графы перестановок можно рассматривать как частный случай графов трапеций, когда каждая трапеция имеет нулевую площадь. Это происходит, когда обе точки трапеции на верхнем канале находятся в одном положении и обе точки на нижнем канале находятся в одном положении.

Как и все графы несравнимости, графы трапеции идеально.

Круговые трапециевидные графики

Круговые трапециевидные графы - это класс графов, предложенный Фельснером и др. в 1993 году. Они являются суперклассом класса трапециевидных графов, а также содержат круговые графы и графы с дугами окружности. Круговая трапеция - это область в круге, которая лежит между двумя непересекающимися хордами, а круговой трапецеидальный граф - это граф пересечений семейств круговых трапеций на общей окружности. Существует ${ Displaystyle О (п ^ {2})}$ алгоритм решения задачи о максимальном взвешенном независимом множестве и ${ Displaystyle {O} (п ^ {2} журнал п)}$ алгоритм для задачи о максимальных весах клики.

k-Графики трапеции

k-Графы с трапециями - это расширение графов с трапециями до более высоких порядков измерения. Впервые они были предложены Фельснером и основываются на определении доминирующих ящиков, переносимых в более высокие измерения, в которых точка Икс представлен вектором ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {k})}$ . С помощью (k - 1) -мерные деревья диапазонов для хранения и запроса координат, алгоритмы Фельснера для хроматического числа, максимального клика и максимального независимого набора могут применяться к k-трапеции в ${ Displaystyle {O} (п журнал ^ {к-1} п)}$ время.

Алгоритмы

Алгоритмы для графов трапеций следует сравнивать с алгоритмами для общих графов сопоставимости. Для этого более широкого класса графов задача о максимальном независимом множестве и минимальном покрытии клик может быть решена в ${ Displaystyle {O} (п ^ {2} журнал п)}$ время.^[5]Даган и др. впервые предложил ${ Displaystyle {O} (нк)}$ алгоритм раскраски трапециевидных графов, где n - количество узлов, а k - хроматическое число графа. Позже, используя коробчатое представление трапециевидных графиков, Фельснер опубликовал ${ Displaystyle {O} (п журнал п)}$ алгоритмы для хроматического числа, взвешенного независимого набора, покрытия клики и максимума взвешенной клики. Все эти алгоритмы требуют ${ Displaystyle {O} (п)}$ Космос. Эти алгоритмы полагаются на ассоциированное преобладание в блочном представлении, которое позволяет использовать алгоритмы скользящей линии. Фельснер предлагает использовать сбалансированные деревья, которые могут выполнять операции вставки, удаления и запроса в ${ Displaystyle {O} ( журнал п)}$ время, что приводит к ${ Displaystyle {O} (п журнал п)}$ алгоритмы.

Признание

Чтобы определить, ${ displaystyle {G}}$ является трапециевидным графом, поиск транзитивной ориентации ${ displaystyle {F}}$ в дополнение к ${ displaystyle {G}}$ . Поскольку графы трапеции являются подмножеством графов сопоставимости, если ${ displaystyle {G}}$ является трапециевидным графом, его дополнение ${ displaystyle {G '}}$ должен быть график сопоставимости. Если переходная ориентация ${ displaystyle {F}}$ дополнения ${ displaystyle {G '}}$ не существует, ${ displaystyle {G}}$ не является трапециевидным графом. Если ${ displaystyle {F}}$ существует, проверьте, есть ли порядок, заданный ${ displaystyle {F}}$ это порядок трапеции. Самый быстрый алгоритм распознавания порядка трапеций был предложен МакКоннеллом и Спинрадом в 1994 году с временем работы ${ Displaystyle О (п ^ {2})}$ . Этот процесс сводит вопрос размерности интервала 2 к задаче покрытия ассоциированного двудольного графа цепными графами (графами без индуцированных 2K₂).^[6]Используя разбиение вершин, Мерциос и Корнейл показали, что проблема распознавания трапециевидных графов успешно решается. ${ Displaystyle О (п (п + т))}$ время, где ${ displaystyle m}$ обозначает количество ребер. Этот процесс включает в себя увеличение заданного графика ${ displaystyle {G}}$ , а затем преобразовать расширенный граф, заменив каждую из вершин исходного графа парой новых вершин. Этот «разбитый граф» представляет собой граф перестановок со специальными свойствами, если только ${ displaystyle {G}}$ является трапециевидным графом.^[7]

Примечания

^ Идо Даган, Мартин Чарльз Голумбик и Рон Яир Пинтер. Графы-трапеции и их раскраска. Дискретное приложение Матем., 35–46, 1988.
^ Стефан Фельснер, Рудольф Мюллер и Лоренц Верниш. Графики трапеции и обобщения, геометрия и алгоритмы. В теории алгоритмов - SWAT ’94 (Орхус, 1994), том 824 Lecture Notes in Comput. Sci., Страницы 143–154. Спрингер, Берлин, 1994.
^ Кеннет П. Богарт, Гарт Исаак. Собственные и единичные приказы и графики битолерантности. Дискретная математика 181 (1–3): 37–51 (1998).
^ Мартин Чарльз Голумбик и Ирит Б.-А. Хартман, ред., Теория графов, комбинаторика и алгоритмы: междисциплинарные приложения, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2005
^ Р. Макконнел и Дж. Спинрад, линейная модульная декомпозиция и эффективная транзитивная ориентация неориентированных графов, Proc. 5. Ann. Symp. на Discr. Alg. (1994).
^ Голумбик, Мартин Чарльз, и Энн Н. Тренк. Графики допусков. Кембридж [u.a .: Cambridge Univ., 2004.
^ Г. Б. Мерциос и Д. Г. Корнейл. Расщепление вершин и распознавание трапециевидных графов. Дискретная прикладная математика, 159 (11), страницы 1131-1147, 2011.