Тест Тьюки на аддитивность - Википедия - Tukeys test of additivity

В статистика, Тест аддитивности Тьюки,^[1] назван в честь Джон Тьюки, - подход, используемый в двустороннем дисперсионном анализе (ANOVA) (регрессивный анализ с участием двух качественных факторов), чтобы оценить, действительно ли факторные переменные (категориальные переменные ) аддитивно связаны с ожидаемое значение переменной ответа. Его можно применять, когда в наборе данных нет реплицированных значений, в ситуации, когда невозможно напрямую оценить полностью общую неаддитивную структуру регрессии и все еще есть информация для оценки дисперсии ошибки. В статистика теста предложенный Тьюки имеет одну степень свободы при нулевой гипотезе, поэтому это часто называют «тестом Тьюки с одной степенью свободы».

Вступление

Наиболее распространенной настройкой теста аддитивности Тьюки является двусторонний факториал. дисперсионный анализ (ANOVA) с одним наблюдением на ячейку. Переменная ответа Y_ij наблюдается в таблице ячеек со строками, индексированными я = 1,..., м и столбцы, проиндексированные j = 1,..., п. Строки и столбцы обычно соответствуют различным типам и уровням обработки, которые применяются в сочетании.

Аддитивная модель утверждает, что ожидаемый ответ может быть выражен EY_ij = μ + α_я + β_j, где α_я и β_j - неизвестные постоянные значения. Неизвестные параметры модели обычно оцениваются как

${ displaystyle { widehat { mu}} = { bar {Y}} _ { cdot cdot}}$

${ displaystyle { widehat { alpha}} _ {i} = { bar {Y}} _ {i cdot} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}}$

${ displaystyle { widehat { beta}} _ {j} = { bar {Y}} _ { cdot j} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}}$

куда Y_я• это среднее значение я^th строка таблицы данных, Y_•j это среднее значение j^th столбец таблицы данных, и Y_•• - общее среднее значение таблицы данных.

Аддитивную модель можно обобщить, чтобы учесть произвольные эффекты взаимодействия, задав EY_ij = μ + α_я + β_j + γ_ij. Однако после подбора естественной оценки γ_ij,

${ displaystyle { widehat { gamma}} _ {ij} = Y_ {ij} - ({ widehat { mu}} + { widehat { alpha}} _ {i} + { widehat { beta }} _ {j}),}$

подогнанные значения

${ displaystyle { widehat {Y}} _ {ij} = { widehat { mu}} + { widehat { alpha}} _ {i} + { widehat { beta}} _ {j} + { widehat { gamma}} _ {ij} Equiv Y_ {ij}}$

точно соответствуют данным. Таким образом, нет оставшихся степеней свободы для оценки дисперсии σ², и никаких проверок гипотез о γ_ij можно выполнить.

Поэтому Тьюки предложил более ограниченную модель взаимодействия в форме

${ displaystyle operatorname {E} Y_ {ij} = mu + alpha _ {i} + beta _ {j} + lambda alpha _ {i} beta _ {j}}$

Проверяя нулевую гипотезу о том, что λ = 0, мы можем обнаружить некоторые отклонения от аддитивности на основе только одного параметра λ.

Метод

Для проведения теста Тьюки установите

${ displaystyle SS_ {A} Equiv n sum _ {i} ({ bar {Y}} _ {i cdot} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ^ {2} }$

${ Displaystyle SS_ {B} эквив м сумма _ {j} ({ bar {Y}} _ { cdot j} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ^ {2} }$

${ Displaystyle SS_ {AB} Equiv { frac {( sum _ {ij} Y_ {ij} ({ bar {Y}} _ {i cdot} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ({ bar {Y}} _ { cdot j} - { bar {Y}} _ { cdot cdot})) ^ {2}} { sum _ {i} ({ bar {Y}} _ {i cdot} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ^ {2} sum _ {j} ({ bar {Y}} _ { cdot j } - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ^ {2}}}}$

${ Displaystyle SS_ {T} Equiv sum _ {ij} (Y_ {ij} - { bar {Y}} _ { cdot cdot}) ^ {2}}$

${ Displaystyle SS_ {E} Equiv SS_ {T} -SS_ {A} -SS_ {B} -SS_ {AB}}$

Затем используйте следующую статистику теста ^[2]

${ displaystyle { frac {SS_ {AB} / 1} {MS_ {E}}}.}$

При нулевой гипотезе тестовая статистика имеет F распределение с 1,q степени свободы, где q = мин − (м + п) - степени свободы для оценки дисперсии ошибки.

Смотрите также

• Тест дальности Тьюки для множественных сравнений

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации