Повороты кривых - Twists of curves

Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Нет причина очистки был указан. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Январь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

в математический поле алгебраическая геометрия, эллиптическая кривая E над a поле K имеет связанный квадратичный поворот, это еще одна эллиптическая кривая, которая изоморфный к E через алгебраическое замыкание формы K. В частности, изоморфизм эллиптических кривых является изогения степени 1, то есть обратимая изогения. Некоторые кривые имеют изгибы более высокого порядка, например кубическийи четвертичные повороты. Кривая и ее повороты одинаковы j-инвариантный.

Квадратичный поворот

Сначала предположим, что K - поле характеристика отличное от 2, пусть E будет эллиптическая кривая над K вида:

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}. ,}$

Данный ${ displaystyle d neq 0}$ неквадратичный вычет, квадратичный поворот из ${ displaystyle E}$ кривая ${ displaystyle E ^ {d}}$, определяемый уравнением:

${ displaystyle dy ^ {2} = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}. ,}$

или эквивалентно

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + da_ {2} x ^ {2} + d ^ {2} a_ {4} x + d ^ {3} a_ {6}. ,}$

Две эллиптические кривые ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle E ^ {d}}$ не изоморфны над ${ displaystyle K}$, а скорее над расширение поля ${ Displaystyle К ({ sqrt {d}})}$.

Теперь предположим, что K имеет характеристику 2. Пусть E - эллиптическая кривая над K вида:

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}. , }$

Данный ${ displaystyle d in K}$ такой, что ${ displaystyle X ^ {2} + X + d}$ является неприводимый многочлен над K квадратичный поворот кривой E - кривая E^d, определяемый уравнением:

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + (a_ {2} + da_ {1} ^ {2}) x ^ {2} + a_ { 4} х + а_ {6} + да_ {3} ^ {2}. ,}$

Две эллиптические кривые ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle E ^ {d}}$ не изоморфны над ${ displaystyle K}$, но за расширение поля ${ Displaystyle К [X] / (X ^ {2} + X + d)}$.

Квадратичный поворот над конечными полями

Если ${ displaystyle K}$ это конечное поле с ${ displaystyle q}$ элементы, то для всех ${ displaystyle x}$ существует ${ displaystyle y}$ так что точка ${ Displaystyle (х, у)}$ принадлежит либо ${ displaystyle E}$ или же ${ displaystyle E ^ {d}}$Фактически, если ${ Displaystyle (х, у)}$ находится только на одной из кривых, есть ровно одна другая ${ displaystyle y '}$ на той же кривой (что может произойти, если характеристика не ${ displaystyle 2}$).

Как следствие, ${ Displaystyle | E (K) | + | E ^ {d} (K) | = 2q + 2}$ или эквивалентно ${ displaystyle t_ {E ^ {d}} = - t_ {E}}$

куда ${ displaystyle t_ {E}}$ это след Эндоморфизм Фробениуса кривой.

Четвертичный поворот

Можно «скрутить» эллиптические кривые с j-инвариантом, равным 1728, по символам четвертой степени; закручивая кривую E на четвертая скрутка, получается ровно четыре кривые: одна изоморфна E, одна - ее квадратичное скручивание и только две другие действительно новые. Кроме того, в этом случае скрученные кривые изоморфны над расширением поля, задаваемым степенью скручивания.

Кубический поворот

Аналогично случаю твиста четвертой степени эллиптическая кривая над ${ displaystyle K}$ с j-инвариантом, равным нулю, можно скручивать кубическими характерами. Полученные кривые изоморфны исходной кривой над расширением поля, задаваемым степенью закрутки.

Примеры

• Скрученные кривые Гессе
• Скрученная кривая Эдвардса
• Скрученная кривая Доче – Икарта – Кохеля, ориентированная на утроение

Рекомендации

• П. Стивенхаген (2008). Эллиптические кривые (PDF). Universiteit Leiden.

• Ф. Гувеа, Б. Мазур (1991). Решето без квадратов и ранг эллиптических кривых (PDF). Журнал Американского математического общества, Том 4, номер 1.

• К. Л. Стюарт и Дж. Топ (1995). О рангах скручиваний эллиптических кривых и степенных значениях двоичных форм. Журнал Американского математического общества, Vol. 8, No. 4 (октябрь 1995 г.), стр. 943–973. JSTOR  2152834.