Двухэтапная М-оценка - Two-step M-estimator

Двухшаговые М-оценки имеет дело с М-оценка задачи, требующие предварительной оценки для получения интересующего параметра. Двухэтапная M-оценка отличается от обычной задачи M-оценки, потому что асимптотическое распределение оценки второго шага обычно зависит от оценки первого шага. Учет этого изменения в асимптотическом распределении важен для правильного вывода.

Описание

В класс двухшаговых M-оценок входят: Оценщик выборки Хекмана,^[1] взвешенный нелинейный метод наименьших квадратов, и обыкновенный метод наименьших квадратов с сгенерированные регрессоры.^[2]

Чтобы исправить идеи, позвольте ${ Displaystyle {W_ {я} } _ {я = 1} ^ {n} substeq R ^ {d}}$ быть i.i.d. образец. ${ displaystyle Theta}$ и ${ displaystyle Gamma}$ являются подмножествами евклидовых пространств ${ Displaystyle R ^ {p}}$ и ${ displaystyle R ^ {q}}$ , соответственно. Учитывая функцию ${ Displaystyle м (;;;): R ^ {d} times Theta times Gamma rightarrow R}$ , двухшаговая M-оценка ${ displaystyle { hat { theta}}}$ определяется как:

{ displaystyle { hat { theta}}: = arg max _ { theta in Theta} { frac {1} {n}} sum _ {i} m { bigl (} W_ { i}, theta, { hat { gamma}} { bigr)}}

куда ${ displaystyle { hat { gamma}}}$ является M-оценкой неприятный параметр который необходимо рассчитать на первом этапе.

Последовательность двухэтапных M-оценок можно проверить, проверив условия согласованности для обычных M-оценок, хотя могут потребоваться некоторые изменения. На практике важным условием проверки является условие идентификации.^[2] Если ${ displaystyle { hat { gamma}} rightarrow gamma ^ {*},}$ куда ${ displaystyle gamma ^ {*}}$ неслучайный вектор, то условием идентификации является то, что ${ Displaystyle E [м (W_ {1}, theta, gamma ^ {*})]}$ имеет уникальный максимайзер по ${ displaystyle Theta}$ .

Асимптотическое распределение

В условиях регулярности двухшаговые M-оценки имеют асимптотическая нормальность. Важно отметить, что асимптотическая дисперсия Двухэтапная M-оценка обычно не такая же, как у обычной M-оценки, в которой оценка первого шага не требуется.^[3] Этот факт интуитивно понятен, потому что ${ displaystyle { hat { gamma}}}$ является случайным объектом, и его изменчивость должна влиять на оценку ${ displaystyle Theta}$ . Однако существует особый случай, в котором асимптотическая дисперсия двухэтапной M-оценки принимает форму, как если бы не было процедуры оценки первого шага. Такой частный случай возникает, если:

{ Displaystyle Е { гидроразрыва { partial} { partial theta partial gamma}} m (W_ {1}, theta _ {0}, gamma ^ {*}) = 0}

куда ${ displaystyle theta _ {0}}$ истинная ценность ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle gamma ^ {*}}$ это предел вероятности ${ displaystyle { hat { gamma}}}$ .^[3] Чтобы интерпретировать это условие, сначала отметим, что в условиях регулярности ${ displaystyle E { frac { partial} { partial theta}} м (W_ {1}, theta _ {0}, gamma ^ {*}) = 0}$ поскольку ${ displaystyle theta _ {0}}$ является максимизатором ${ Displaystyle E [м (W_ {1}, theta, gamma ^ {*})]}$ . Таким образом, указанное выше условие означает, что малое возмущение γ не влияет на условие первого порядка. Таким образом, в большой выборке изменчивость ${ displaystyle { hat { gamma}}}$ не влияет на argmax целевой функции, что объясняет инвариантное свойство асимптотической дисперсии. Конечно, этот результат действителен только тогда, когда размер выборки стремится к бесконечности, поэтому свойство конечной выборки может быть совершенно другим.

Вовлечение MLE

Когда первый шаг - это Оценщик максимального правдоподобия, при некоторых предположениях двухшаговая M-оценка больше асимптотически эффективный (т.е. имеет меньшую асимптотическую дисперсию), чем M-оценка с известным параметром первого шага. Последовательность и асимптотическая нормальность оценки следует из общего результата о двухшаговых M-оценках.^[4]

Пусть {V_я, Вт_я, Z_я}^п
_{я = 1} - случайная выборка, а M-оценка второго шага ${ displaystyle { widehat { theta}}}$ следующее:

{ displaystyle { widehat { theta}}: = { underset { theta in Theta} { operatorname {arg max}}} sum _ {i = 1} ^ {n} m (v_ { i}, w_ {i}, z_ {i}: theta, { widehat { gamma}})}

куда ${ displaystyle { widehat { gamma}}}$ - параметр, оцениваемый по максимальному правдоподобию на первом этапе. Для MLE,

{ displaystyle { widehat { gamma}}: = { underset { gamma in Gamma} { operatorname {arg max}}} sum _ {i = 1} ^ {n} log f ( v_ {it}: z_ {i}, gamma)}

куда ж условная плотность V данный Z. Теперь предположим, что данный Z, V условно не зависит от W. Это предположение называется предположение об условной независимости или выбор по наблюдаемым.^[4]^[5] Интуитивно это условие означает, что Z является хорошим предиктором V, так что когда-то обусловлено Z, V не имеет систематической зависимости от W. В предположении условной независимости асимптотическая дисперсия двухшаговой оценки:

{ displaystyle mathrm {E} [ nabla _ { theta} s ( theta _ {0}, gamma _ {0})] ^ {- 1} mathrm {E} [g ( theta _ { 0}, gamma _ {0}) g ( theta _ {0}, gamma _ {0})] mathrm {E} [ nabla _ { theta} s ( theta _ {0}, гамма _ {0})] ^ {- 1}}

куда

{ Displaystyle { begin {выровнен} g ( theta, gamma) &: = s ( theta, gamma) - mathrm {E} [s ( theta, gamma) nabla _ { gamma} d ( gamma) ^ { mathrm {T}}] mathrm {E} [ nabla _ { gamma} d ( gamma) nabla _ { gamma} d ( gamma) ^ { mathrm {T }}] ^ {- 1} d ( gamma) s ( theta, gamma) &: = nabla _ { theta} m (V, W, Z: theta, gamma) d ( gamma) &: = nabla _ { gamma} log f (V: Z, gamma) end {выровнено}}}

и $\nabla$ представляет собой частную производную по вектору-строке. В случае, когда $γ 0$ известно, асимптотическая дисперсия равна

{ displaystyle mathrm {E} [ nabla _ { theta} s ( theta _ {0}, gamma _ {0})] ^ {- 1} mathrm {E} [s ( theta _ { 0}, gamma _ {0}) s ( theta _ {0}, gamma _ {0}) ^ { mathrm {T}}] mathrm {E} [ nabla _ { theta} s ( theta _ {0}, gamma _ {0})] ^ {- 1}}

и поэтому, если ${ Displaystyle mathrm {E} [s ( theta, gamma) nabla _ { gamma} d ( gamma) ^ { mathrm {T}}] = 0}$ , двухэтапная M-оценка более эффективна, чем обычная M-оценка. Этот факт говорит о том, что даже когда $γ 0$ известно априори, есть выигрыш в эффективности за счет оценки $γ$ пользователя MLE. Применение этого результата можно найти, например, при оценке лечебного эффекта.^[4]

Примеры

Смотрите также

Адаптивная оценка