Вариационный многомасштабный метод - Variational multiscale method
В вариационный многомасштабный метод (VMS) это метод, используемый для построения моделей и численных методов многомасштабных явлений.[1] Структура VMS в основном применяется для стабилизации конструкции методы конечных элементов в котором стабильность стандарта Метод Галеркина не обеспечивается как с точки зрения сингулярного возмущения, так и условий согласования с пространствами конечных элементов.[2]
Стабилизированные методы привлекают все большее внимание в вычислительная гидродинамика потому что они предназначены для устранения недостатков, типичных для стандартных Метод Галеркина: задачи о потоках с преобладанием адвекции и задачи, в которых произвольная комбинация функций интерполяции может привести к неустойчивым дискретизированным формулировкам.[3][4] Вехой в стабилизированных методах для этого класса задач можно считать метод Линии потока против ветра Петрова-Галеркина (SUPG), разработанный Бруксом и Хьюзом в 80-е годы для потоков с преобладанием конвекции для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости.[5][6] Вариационный многомасштабный метод (VMS) был введен Хьюзом в 1995 году.[7] Вообще говоря, VMS - это метод, используемый для получения математических моделей и численных методов, которые способны улавливать многомасштабные явления;[1] фактически, он обычно применяется для задач с огромными диапазонами шкалы, которые разделены на несколько групп шкал.[8] Основная идея метода состоит в построении разложения решения по сумме в виде , куда обозначается как крупномасштабное решение и решается численно, тогда как представляет собой мелкомасштабное решение и определяется аналитически, исключая его из задачи уравнения крупного масштаба.[1]
Абстрактная задача Дирихле в вариационной постановке
Рассмотрим открытую ограниченную область с гладкой границей , существование количество пространственных измерений. Обозначая несимметричный дифференциальный оператор второго порядка общего положения, рассмотрим следующие краевая задача:[4]
существование и данные функции. Позволять - гильбертово пространство интегрируемых с квадратом функций с интегрируемыми с квадратом производными:[4]
Рассмотрим пространство пробных решений и пространство весовых функций определяется следующим образом:[4]
существование билинейная форма, удовлетворяющая , ограниченный линейный функционал на и это внутренний продукт.[2] Кроме того, дуальный оператор из определяется как такой дифференциальный оператор, что .[7]
Вариационный многомасштабный метод
Одномерное представление , и
В подходе VMS функциональные пространства разлагаются посредством многомасштабного разложения прямой суммы для обоих и на подпространства крупного и мелкого масштабов как:[1]
и
Следовательно, перекрытие разложение суммы предполагается для обоих и в качестве:
,
куда представляет грубый (разрешимые) шкалы и то отлично (подсеточные) шкалы, с , , и . В частности, относительно этих функций сделаны следующие предположения:[1]
С учетом этого вариационную форму можно переписать как
и, используя билинейность и линейность ,
Последнее уравнение сводится к задаче грубого и мелкого масштабов:
что показывает, что мелкомасштабное решение зависит от сильной невязки уравнения грубого масштаба .[7] Решение в мелком масштабе может быть выражено через сквозь Функция Грина:
Позволять быть Дельта-функция Дирака, по определению, функция Грина находится путем решения
Кроме того, можно выразить в терминах нового дифференциального оператора аппроксимирующий дифференциальный оператор в качестве [1]
с . Чтобы исключить явную зависимость в уравнении грубого масштаба членов подсеточного масштаба, учитывая определение двойственного оператора, последнее выражение можно подставить во второй член уравнения крупного масштаба:[1]
С является приближением , вариационная многомасштабная формулировка будет заключаться в нахождении приближенного решения вместо . Поэтому грубая задача переписывается так:[1]
Поскольку обычно невозможно определить оба и , обычно принимают приближение. В этом смысле грубомасштабные пространства и в качестве конечномерного пространства функций выбраны:[1]
и
существование конечно-элементное пространство лагранжевых многочленов степени поверх встроенной сетки .[4] Обратите внимание, что и являются бесконечномерными пространствами, а и являются конечномерными пространствами.
Позволять и быть соответственно приближениями и , и разреши и быть соответственно приближениями и . Задача VMS с приближением конечных элементов гласит:[7]
куда - коэффициент диффузии при и - заданное адвекционное поле. Позволять и , , .[4] Позволять , существование и .[1]Вариационная форма приведенной выше задачи гласит:[4]
существование
Рассмотрим приближение методом конечных элементов в пространстве указанной выше задачи, введя пространство по сетке сделано из элементы, с .
Стандартная галёркинская постановка этой проблемы имеет вид[4]
Рассмотрим строго согласованный метод стабилизации указанной выше задачи в рамках конечно-элементной схемы:
Форма можно выразить как , существование дифференциальный оператор, такой как:[1]
и - параметр стабилизации. Стабилизированный метод с обычно упоминается метод многомасштабной стабилизации . В 1995 г. Томас Дж. Р. Хьюз показали, что стабилизированный метод многомасштабного типа можно рассматривать как модель подсеточного масштаба, в которой параметр стабилизации равен
VMS-моделирование турбулентности для моделирования больших вихрей несжимаемых потоков
Идея VMS моделирование турбулентности для моделирования больших вихрей (LES ) несжимаемой Уравнения Навье – Стокса был представлен Hughes et al. в 2000 году, и основная идея заключалась в использовании вместо классических фильтрованных методов вариационных проекций.[9][10]
существование скорость жидкости, давление жидкости, заданный срок принуждения, направленный наружу единичный вектор нормали к , и то тензор вязких напряжений определяется как:
Чтобы найти вариационную формулировку уравнений Навье – Стокса, рассмотрим следующие бесконечномерные пространства:[4]
Кроме того, пусть и . Слабая форма уравнений нестационарной несжимаемой жидкости Навье – Стокса гласит:[4] данный ,
куда представляет внутренний продукт и то внутренний продукт. Кроме того, билинейные формы , и трехлинейная форма определяются следующим образом:[4]
Метод конечных элементов для пространственной дискретизации и моделирования VMS-LES
Чтобы дискретизировать в пространстве уравнения Навье – Стокса, рассмотрим функциональное пространство конечных элементов
кусочно лагранжевых многочленов степени по домену триангулированный сеткой из тетраэдров диаметров , . Следуя показанному выше подходу, введем многомасштабное разложение в прямую сумму пространства что представляет собой либо и :[11]
существование
конечномерное функциональное пространство, связанное с грубая шкала, и
бесконечномерный мелкая шкала функциональное пространство, с
,
и
.
Разложение перекрывающейся суммы затем определяется как:[10][11]
Используя приведенное выше разложение в вариационной форме уравнений Навье – Стокса, можно получить грубое и мелкомасштабное уравнение; члены мелкого масштаба, появляющиеся в уравнении грубого масштаба, являются интегрированный по частям а переменные мелкого масштаба моделируются как:[10]
В приведенных выше выражениях и являются остатками уравнения импульса и уравнения неразрывности в сильных формах, определяемых как:
при этом параметры стабилизации устанавливаются равными:[11]
куда - постоянная, зависящая от степени многочленов , - константа, равная порядку формула обратного дифференцирования (BDF) принята в качестве схемы временной интеграции и это временной шаг.[11] Полудискретная вариационная многомасштабная многомасштабная формулировка (VMS-LES) уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости гласит:[11] данный ,
^ абcdежграммчасяjkHughes, T.J.R .; Scovazzi, G .; Franca, L.P. (2004). «Глава 2: Мультимасштабные и стабилизированные методы». В Штейне, Эрвин; де Борст, Рене; Хьюз, Томас Дж. Р. (ред.). Энциклопедия вычислительной механики. Джон Вили и сыновья. С. 5–59. ISBN0-470-84699-2.
^ абCodina, R .; Badia, S .; Baiges, J .; Принсипи, Дж. (2017). «Глава 2: Вариационные многомасштабные методы в вычислительной гидродинамике». В Штейне, Эрвин; де Борст, Рене; Хьюз, Томас Дж. Р. (ред.). Энциклопедия вычислительной механики, второе издание. Джон Вили и сыновья. С. 1–28. ISBN9781119003793.
^Масуд, Ариф (апрель 2004 г.). "Предисловие". Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 193 (15–16): iii – iv. Дои:10.1016 / j.cma.2004.01.003.
^Брукс, Александр Н .; Хьюз, Томас Дж. Р. (сентябрь 1982 г.). «Поток против ветра / формулировки Петрова-Галеркина для потоков с преобладанием конвекции с особым упором на несжимаемые уравнения Навье-Стокса». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 32 (1–3): 199–259. Дои:10.1016/0045-7825(82)90071-8.
^Масуд, Ариф; Кальдерер, Рамон (3 февраля 2009 г.). "Вариационная многомасштабная стабилизированная формулировка для несжимаемых уравнений Навье – Стокса". Вычислительная механика. 44 (2): 145–160. Дои:10.1007 / s00466-008-0362-3.
^ абcdежграммчасХьюз, Томас Дж. Р. (ноябрь 1995 г.). «Многомасштабные явления: функции Грина, формулировка Дирихле-Неймана, подсеточные модели, пузыри и происхождение стабилизированных методов». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 127 (1–4): 387–401. Дои:10.1016/0045-7825(95)00844-9.
^Растхофер, Урсула; Гравемайер, Фолькер (27 февраля 2017 г.). «Последние разработки в вариационных многомасштабных методах моделирования турбулентных потоков с большими вихрями». Архивы вычислительных методов в технике. 25 (3): 647–690. Дои:10.1007 / s11831-017-9209-4.
^Hughes, Thomas J.R .; Мацей, Лука; Янсен, Кеннет Э. (май 2000 г.). «Моделирование больших вихрей и вариационный многомасштабный метод». Вычислительная техника и визуализация в науке. 3 (1–2): 47–59. Дои:10.1007 / s007910050051.
^ абcБазилевс, Ю .; Calo, V.M .; Cottrell, J.A .; Hughes, T.J.R .; Reali, A .; Сковацци, Г. (декабрь 2007 г.). «Вариационное многомасштабное моделирование остаточной турбулентности для моделирования больших вихрей несжимаемых потоков». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 197 (1–4): 173–201. Дои:10.1016 / j.cma.2007.07.016.
^ абcdежграммФорти, Давиде; Деде, Лука (август 2015). "Полунеявная дискретизация по времени BDF уравнений Навье – Стокса с моделированием VMS-LES в среде высокопроизводительных вычислений". Компьютеры и жидкости. 117: 168–182. Дои:10.1016 / j.compfluid.2015.05.011.
![{ Displaystyle { boldsymbol {b}} в [L ^ {2} ( Omega)] ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1844e10463696388bd2a753a218ea715694f87b0)
![{ displaystyle { mathcal {V}} _ {g} = {{ boldsymbol {u}} in [H ^ {1} ( Omega)] ^ {d}: { boldsymbol {u}} = { boldsymbol {g}} { text {on}} Gamma _ {D} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739d4c450eb30dc660e35f1988147d32ce61633b)
![{ displaystyle { mathcal {V}} _ {0} = [H_ {0} ^ {1} ( Omega)] ^ {d} = {{ boldsymbol {u}} in [H ^ {1 } ( Omega)] ^ {d}: { boldsymbol {u}} = { boldsymbol {0}} { text {on}} Gamma _ {D} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0250d85f7bc02dc271950c7a33fb4b7d75d55c)
