Слабое измерение - Weak measurement

В квантовая механика (и вычисление & Информация ), слабые измерения являются разновидностью квантовое измерение это приводит к тому, что наблюдатель получает в среднем очень мало информации о системе, но также очень мало влияет на состояние.^[1] Из теоремы Буша^[2] измерение обязательно нарушит работу системы. В литературе слабые измерения также известны как нечеткие,^[3] нечеткий,^[3][4] скучно, шумно,^[5] приблизительный и нежный^[6] измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с четким, но связанным понятием слабая ценность.^[7]

История

Впервые о слабых измерениях думали в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем.^[8] (т.е. квантовая фильтрация и квантовые траектории ). Физика непрерывных квантовых измерений заключается в следующем. Рассмотрите возможность использования вспомогательной службы, например а поле или Текущий, чтобы исследовать квантовую систему. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие слабо коррелирует между системой и вспомогательной службой. (В частности, унитарность взаимодействия должна быть расширена только до первого или второго порядка в теории возмущений.) Измеряя вспомогательную, а затем используя теорию квантовых измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить надежное измерение, многие вспомогательные элементы необходимо соединить, а затем измерить. В пределах континуума вспомогательных функций процесс измерения становится непрерывным во времени. Впервые этот процесс описал: Менский;^[9][10] Белавкин;^[11][12] Барчелли, Ланц, Проспери;^[13] Барчелли;^[14] Пещеры;^[15][16] Пещеры и Milburn.^[17] Позже Говард Кармайкл ^[18] и Говард М. Уайзман^[19] также внес важный вклад в эту область.

Понятие слабого измерения часто ошибочно приписывают Ааронов, Альберт и Вайдман.^[7] В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, используют фразу «слабое измерение») и используют его, чтобы мотивировать свое определение слабая ценность, которое они там определили впервые.

Математика

Общепринятого определения слабого измерения не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все Операторы Крауса близки к идентичности.^[20] Предлагаемый ниже подход заключается в слабом взаимодействии двух систем с последующим измерением одной из них.^[21] После подробного описания этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и дополнительные измерения

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовое состояние ${ displaystyle | psi rangle}$ и вспомогательная, которая начинается в состоянии ${ displaystyle | phi rangle}$, комбинированное начальное состояние ${ Displaystyle | Psi rangle = | psi rangle otimes | phi rangle}$. Эти две системы взаимодействуют через Гамильтониан ${ displaystyle H = A otimes B}$, который генерирует эволюцию во времени ${ Displaystyle U (т) = ехр [-ixtH]}$ (в единицах, где ${ displaystyle hbar = 1}$), куда ${ displaystyle x}$ это «сила взаимодействия», имеющая обратные единицы времени. Предположим фиксированное время взаимодействия ${ displaystyle t = Delta t}$ и это ${ displaystyle lambda = x Delta t}$ маленький, такой, что ${ displaystyle lambda ^ {3} приблизительно 0}$. Расширение серии ${ displaystyle U}$ в ${ displaystyle lambda}$ дает

${ displaystyle { begin {align} U & = I otimes Ii lambda H - { frac {1} {2}} lambda ^ {2} H ^ {2} + O ( lambda ^ {3}) & приблизительно I otimes Ii lambda A otimes B - { frac {1} {2}} lambda ^ {2} A ^ {2} otimes B ^ {2}. end {выровнено} }}$

Поскольку в теории возмущений необходимо было разложить унитарную систему только до низкого порядка, мы называем это слабым взаимодействием. Кроме того, тот факт, что унитарность является преимущественно тождественным оператором, поскольку ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle lambda ^ {2}}$ малы, означает, что состояние после взаимодействия кардинально не отличается от исходного состояния. Комбинированное состояние системы после взаимодействия

${ displaystyle | Psi ' rangle = left (I otimes Ii lambda A otimes B - { frac {1} {2}} lambda ^ {2} A ^ {2} otimes B ^ { 2} right) | Psi rangle.}$

Теперь мы выполняем измерение вспомогательной системы, чтобы узнать о системе, это известно как измерение, связанное с вспомогательной системой. Считаем замеры в основу ${ displaystyle | q rangle}$ (в вспомогательной системе) такие, что ${ displaystyle sum _ {q} | q rangle langle q | = I}$. Действие измерений на обеих системах описывается действием проекторов. ${ displaystyle Pi _ {q} = I otimes | q rangle langle q |}$ о совместном государстве ${ displaystyle | Psi ' rangle}$. Из квантовая теория измерения мы знаем условное состояние после измерения

${ displaystyle { begin {align} | Psi _ {q} rangle & = { frac { Pi _ {q} | Psi ' rangle} { sqrt { langle Psi' | Pi _ {q} | Psi ' rangle}}} & = { frac {I langle q | phi rangle -i lambda A langle q | B | phi rangle - { frac {1 } {2}} lambda ^ {2} A ^ {2} langle q | B ^ {2} | phi rangle} { mathcal {N}}} | psi rangle otimes | q rangle , конец {выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {N}} = { sqrt { langle Psi '| Pi _ {q} | Psi' rangle}}}$ - нормировочный коэффициент для волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результат измерения. Предмет ${ displaystyle M_ {q}: = I langle q | phi rangle -i lambda A langle q | B | phi rangle - { frac {1} {2}} lambda ^ {2} A ^ {2} langle q | B ^ {2} | phi rangle}$ является оператором в гильбертовом пространстве системы и называется Оператор Крауса.

По отношению к операторам Крауса состояние комбинированной системы после измерения

${ displaystyle | Psi _ {q} rangle = { frac {M_ {q} | psi rangle} { sqrt { langle psi | M_ {q} ^ { dagger} M_ {q} | psi rangle}}} otimes | q rangle.}$

Объекты ${ Displaystyle E_ {q} = M_ {q} ^ { dagger} M_ {q}}$ элементы того, что называется POVM и должен подчиняться ${ displaystyle sum _ {q} E_ {q} = I}$ так что соответствующие вероятности в сумме равны единице: ${ displaystyle sum _ {q} Pr (q | psi) = sum _ {q} langle psi | E_ {q} | psi rangle = 1}$. Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с основной системой, она просто записывает результат измерения, мы можем след над ним. Это дает только условное состояние первичной системы:

${ displaystyle | psi _ {q} rangle = { frac {M_ {q} | psi rangle} { sqrt { langle psi | M_ {q} ^ { dagger} M_ {q} | psi rangle}}},}$

которые мы по-прежнему обозначаем результатом измерения ${ displaystyle q}$. Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовая траектория.

Примеры операторов Крауса

Мы будем использовать канонический пример гауссовских операторов Крауса, приведенный Барчелли, Ланцем, Проспери;^[13] и пещеры и Милберн.^[17] Брать ${ displaystyle H = x otimes p}$, где положение и импульс обеих систем имеют обычные Каноническое коммутационное отношение ${ Displaystyle [х, р] = я}$. Возьмите начальную волновую функцию вспомогательной функции, чтобы получить гауссово распределение

${ displaystyle | Phi rangle = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} int dq ' exp [-q' ^ {2} / (4 sigma ^ {2})] | q ' rangle.}$

Волновая функция положения вспомогательной службы равна

${ Displaystyle Phi (q) = langle q | Phi rangle = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} exp [-q ^ {2} / (4 sigma ^ {2})].}$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше мы полагаем ${ displaystyle lambda = 1}$)

${ Displaystyle { begin {align} M (q) & = langle q | exp [-ix otimes p] | Phi rangle & = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} exp [- (qx) ^ {2} / (4 sigma ^ {2})], end {выравнивается}}}$

а соответствующие элементы POVM

${ Displaystyle { begin {выровнено} E (q) & = M_ {q} ^ { dagger} M_ {q} & = { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2 }}}} exp [- (qx) ^ {2} / (2 sigma ^ {2})], end {выровнено}}}$

которые подчиняются ${ Displaystyle int dq , E (q) = I}$. Альтернативное представление часто встречается в литературе. Используя спектральное представление оператора позиции ${ displaystyle x = int x'dx '| x' rangle langle x '|}$, мы можем написать

${ displaystyle { begin {align} M (q) & = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} int dx ' exp [- ( q-x ') ^ {2} / (4 sigma ^ {2})] | x' rangle langle x '|, E (q) & = { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} int dx ' exp [- (q-x') ^ {2} / (2 sigma ^ {2})] | x ' rangle langle x' | . end {выровнен}}}$

Заметь ${ displaystyle lim _ { sigma to 0} E (q) = | x = q rangle langle x = q |}$.^[17] То есть в определенном смысле эти операторы ограничиваются строгим измерением положения; для других значений ${ displaystyle sigma}$ мы называем измерение конечной прочности; и, как ${ displaystyle sigma to infty}$, мы говорим, что измерение слабое.

Компромисс между получением информации и помехами

Как указано выше, теорема Буша^[2] препятствует бесплатному обеду: невозможно получить информацию без помех. Однако компромисс между получением информации и нарушением был охарактеризован многими авторами, включая Фукса и Перес;^[22] Fuchs;^[23] Фукс и Джейкобс;^[24] и Банашек.^[25]

Недавно соотношение компромисса между получением информации и помехами было исследовано в контексте так называемой «леммы о мягких измерениях».^[6][26]

Приложения

С самого начала было ясно, что основное использование слабых измерений будет заключаться в управлении с обратной связью или адаптивных измерениях квантовых систем. В самом деле, это мотивировало большую часть работ Белавкина, и явный пример был дан Кейвсом и Милбурном. Одним из первых применений адаптивных слабых измерений было Долинара приемник,^[27] что было реализовано экспериментально.^[28][29] Еще одно интересное применение слабых измерений - это использование слабых измерений, за которыми следует унитарное, возможно, обусловленное слабым результатом измерения, для синтеза других обобщенных измерений.^[20] Книга Уайзмана и Милберна^[21] является хорошим ориентиром для многих современных разработок.

Предлагаемое дальнейшее чтение

• Статья Бруна^[1]
• Статья Джейкобса и Стека^[30]
• Квантовая теория измерений и ее приложения, К. Джейкобс (Cambridge Press, 2014). ISBN  9781107025486
• Квантовые измерения и контроль, Х. М. Уайзман и Г. Дж. Милберн (Cambridge Press, 2009).^[21]
• Статья Тамира и Коэна^[31]

Рекомендации