Гипотеза Вайнштейна - Weinstein conjecture

В математика, то Гипотеза Вайнштейна относится к общей проблеме существования периодические орбиты из Гамильтониан или же Риб векторные потоки. Более конкретно, гипотеза утверждает, что на компакте контактный коллектор, это Векторное поле Риба должен нести по крайней мере один периодический оборот.

По определению, набор уровней типа контакта допускает Форма обратной связи получено договор гамильтоново векторное поле к симплектической форме. В этом случае гамильтонов поток представляет собой Векторное поле Риба на этом уровне установлен. Это факт, что любое контактное многообразие (M, α) вкладывается в каноническое симплектическое многообразие, называемое симплектизация из M, так что M является набором уровней контактного типа (канонически определенного гамильтониана), а векторное поле Риба является гамильтоновым потоком. То есть любое контактное многообразие может быть создано таким, чтобы удовлетворять требованиям гипотезы Вайнштейна. Поскольку, как нетривиально, любая орбита гамильтонова потока содержится в множестве уровня, гипотеза Вайнштейна является утверждением о контактных многообразиях.

Было известно, что любая контактная форма изотопна форме, допускающей замкнутую орбиту Риба; например, для любого контактного коллектора существует совместимый разложение открытой книги, привязка которого представляет собой замкнутую орбиту Риба. Однако этого недостаточно для доказательства гипотезы Вайнштейна, поскольку гипотеза Вайнштейна утверждает, что каждый контактная форма допускает замкнутую орбиту Риба, а открытая книга определяет замкнутую орбиту Риба для формы, которая является только изотопический к данной форме.

Гипотеза была сформулирована в 1978 г. Алан Вайнштейн.[1] В нескольких случаях было известно о существовании периодической орбиты. Например, Рабиновиц показал, что на звездных множествах уровня гамильтоновой функции на симплектическом многообразии всегда существуют периодические орбиты (Вайнштейн независимо доказал частный случай выпуклых множеств уровня).[2] Вайнштейн заметил, что гипотезы нескольких таких теорем существования могут быть включены в условие, что набор уровня имеет контактный тип. (Первоначальная гипотеза Вайнштейна включала условие, что первая когомологии де Рама группа набора уровня тривиальна; эта гипотеза оказалась ненужной).

Гипотеза Вайнштейна была впервые доказана для контактных гиперповерхностей в в 1986 г. Витербо [fr ],[3] затем расширен на кокасательные расслоения Хофером – Витербо и на более широкие классы асферических многообразий Флёром – Хофером – Витербо. Наличие голоморфных сфер было использовано Хофером – Витербо.[4] Все эти случаи касались ситуации, когда контактное многообразие является контактным подмногообразием симплектического многообразия. Новый подход без этого предположения был открыт в размерности 3 Hofer и лежит в основе контактной гомологии.[5]

Гипотеза Вайнштейна теперь доказана для всех замкнутых трехмерных многообразий формулой Клиффорд Таубс.[6] В доказательстве используется вариант Зайберга – Виттена. Гомология Флора и проводит стратегию, аналогичную доказательству Таубса, что инварианты Зайберга-Виттена и Громова эквивалентны на симплектическом четырехмерном многообразии. В частности, доказательство обеспечивает кратчайший путь к тесно связанной с ней программе доказательства гипотезы Вайнштейна, показывая, что встроенная контактная гомология любого контактного трехмерного многообразия нетривиально.

Рекомендации

  1. ^ Вайнштейн, А. (1979). «О предположениях периодических теорем Рабиновица об орбите». Журнал дифференциальных уравнений. 33 (3): 353–358. Bibcode:1979JDE .... 33..353 Вт. Дои:10.1016/0022-0396(79)90070-6.
  2. ^ Рабиновиц, П. (1979). «Периодические решения гамильтоновой системы на заданной энергетической поверхности». Журнал дифференциальных уравнений. 33 (3): 336–352. Bibcode:1979JDE .... 33..336R. Дои:10.1016 / 0022-0396 (79) 90069-X.
  3. ^ Витербо, К. (1987). "Доказательство гипотезы Вайнштейна в ". Annales de l'institut Henri Poincaré (C) Analyze non linéaire. 4 (4): 337–356. Bibcode:1987AIHPC ... 4..337V. Дои:10.1016 / s0294-1449 (16) 30363-8.
  4. ^ Hofer, H .; Витербо, К. (1992). «Гипотеза Вайнштейна при наличии голоморфных сфер». Comm. Pure Appl. Математика. 45 (5): 583–622. Дои:10.1002 / cpa.3160450504.
  5. ^ Хофер, Х. (1993). «Псевдоголоморфные кривые в симплектизациях с приложениями к гипотезе Вайнштейна в размерности три». Математические изобретения. 114: 515–563. Bibcode:1993InMat.114..515H. Дои:10.1007 / BF01232679.
  6. ^ Таубес, К. Х. (2007). «Уравнения Зайберга-Виттена и гипотеза Вайнштейна». Геометрия и топология. 11 (4): 2117–2202. arXiv:math.SG/0611007. Дои:10.2140 / gt.2007.11.2117.

дальнейшее чтение