Винера серия - Wiener series

В математике Винера серия, или же Винеровское расширение G-функции, происходит из книги 1958 г. Норберт Винер. Это ортогональное разложение для нелинейных функционалы тесно связан с Вольтерра серия и имеющий то же отношение к нему, что и ортогональный Многочлен Эрмита расширение должно степенной ряд. По этой причине он также известен как Расширение Винера – Эрмита. Аналог коэффициентов будем называть Винеровские ядра. Члены ряда ортогональны (некоррелированы) относительно статистического ввода белый шум. Это свойство позволяет определять термины в приложениях Метод Ли – Шетцена.

Серия Винера важна в идентификация нелинейных систем. В этом контексте ряд аппроксимирует функциональную связь вывода со всей историей ввода системы в любое время. Серия Винера применялась в основном для идентификации биологических систем, особенно в нейробиология.

Название серии Wiener используется почти исключительно в теория систем. В математической литературе оно встречается как разложение Ито (1951), которое имеет другую форму, но полностью ему эквивалентно.

Серию Винера не следует путать с Винеровский фильтр, это еще один алгоритм, разработанный Норбертом Винером, используемый при обработке сигналов.

Винеровские G-функциональные выражения

Для данной системы с парой ввода / вывода ${ Displaystyle (х (т), у (т))}$ где вход представляет собой белый шум с нулевым средним значением и мощностью A, мы можем записать выход системы как сумму ряда винеровских G-функционалов${ Displaystyle у (п) = сумма _ {р} (G_ {р} х) (п)}$

Ниже будут приведены выражения G-функционалов до пятого порядка:

${ Displaystyle (G_ {0} x) (n) = k_ {0} = E left {y (n) right };}$

${ displaystyle (G_ {1} x) (n) = sum _ { tau _ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} k_ {1} ( tau _ {1}) x ( n- tau _ {1});}$

${ displaystyle (G_ {2} x) (n) = sum _ { tau _ {1}, tau _ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} k_ {2} ( tau _ {1}, tau _ {2}) x (n- tau _ {1}) x (n- tau _ {2}) - A sum _ { tau _ {1} = 0} ^ {N_ {2} -1} k_ {2} ( tau _ {1}, tau _ {1});}$

${ displaystyle (G_ {3} x) (n) = sum _ { tau _ {1}, ldots, tau _ {3} = 0} ^ {N_ {3} -1} k_ {3} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {3}) x (n- tau _ {1}) x (n- tau _ {2}) x (n- tau _ {3}) - 3A sum _ { tau _ {1} = 0} ^ {N_ {3} -1} sum _ { tau _ {2} = 0} ^ {N_ {3} -1 } k_ {3} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {2}) x (n- tau _ {1});}$

${ displaystyle { begin {align} (G_ {4} x) (n) = {} & sum _ { tau _ {1}, ldots, tau _ {4} = 0} ^ {N_ { 4} -1} k_ {4} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {3}, tau _ {4}) x (n- tau _ {1}) x (n- tau _ {2}) x (n- tau _ {3}) x (n- tau _ {4}) + {} [6pt] & {} - 6A sum _ { tau _ {1}, tau _ {2} = 0} ^ {N_ {4} -1} sum _ { tau _ {3} = 0} ^ {N_ {4} -1} k_ {4} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {3}, tau _ {3}) x (n- tau _ {1}) x (n- tau _ {2} ) + 3A ^ {2} sum _ { tau _ {1}, tau _ {2} = 0} ^ {N_ {4} -1} k_ {4} ( tau _ {1}, tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {2}); end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} (G_ {5} x) (n) = {} & sum _ { tau _ {1}, ldots, tau _ {5} = 0} ^ {N_ { 5} -1} k_ {5} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {3}, tau _ {4}, tau _ {5}) x (n- тау _ {1}) х (п- тау _ {2}) х (п- тау _ {3}) х (п- тау _ {4}) х (п- тау _ {5}) + {} [6pt] & {} - 10A sum _ { tau _ {1}, ldots, tau _ {3} = 0} ^ {N_ {5} -1} sum _ { тау _ {4} = 0} ^ {N_ {5} -1} k_ {5} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {3}, tau _ {4}, tau _ {4}) x (n- tau _ {1}) x (n- tau _ {2}) x (n- tau _ {3}) [6pt] & {} + 15A ^ {2} sum _ { tau _ {1} = 0} ^ {N_ {5} -1} sum _ { tau _ {2}, tau _ {3} = 0} ^ {N_ { 5} -1} k_ {5} ( tau _ {1}, tau _ {2}, tau _ {2}, tau _ {3}, tau _ {3}) x (n- тау _ {1}). end {align}}}$

Смотрите также

• Вольтерра серия
• Идентификация системы
• Среднее значение, вызванное скачком

Рекомендации

• Винер, Норберт (1958). Нелинейные задачи теории случайностей.. Wiley and MIT Press.
• Ли и Шетцен; Schetzen ‡, M. (1965). «Измерение винеровских ядер нелинейной системы путем взаимной корреляции». Международный журнал контроля. Первый. 2 (3): 237–254. Дои:10.1080/00207176508905543.
• Ито К. «Кратный интеграл Винера» J. Math. Soc. Япония 3 1951 157–169
• Marmarelis, P.Z .; Нака, К. (1972). «Анализ белого шума нейронной цепи: применение теории Винера». Наука. 175 (4027): 1276–1278. Дои:10.1126 / science.175.4027.1276. PMID  5061252.
• Schetzen, Мартин (1980). Теории Вольтерра и Винера нелинейных систем. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-04455-0.
• Мармарелис, П.З. (1991). "Винеровский анализ нелинейной обратной связи". Сенсорные системы Анналы биомедицинской инженерии. 19 (4): 345–382. Дои:10.1007 / BF02584316.
• Franz, M; Шёлкопф, Б. (2006). «Объединяющий взгляд на теорию Винера и Вольтерра и регрессию полиномиального ядра». Нейронные вычисления. 18 (12): 3097–3118. Дои:10.1162 / neco.2006.18.12.3097.