Неравенство Виртингерса для функций - Википедия - Wirtingers inequality for functions

По поводу других неравенств, названных в честь Виртингера, см. Неравенство Виртингера.

В математика, исторически Неравенство Виртингера для реальных функций был неравенство используется в Анализ Фурье. Он был назван в честь Вильгельм Виртингер. Он был использован в 1904 году, чтобы доказать изопериметрическое неравенство. Множество тесно связанных результатов сегодня известно как неравенство Виртингера.

Теорема

Первая версия

Позволять ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R}}$ быть периодическая функция периода 2π, который непрерывен и имеет непрерывную производную на всем протяжении р, и такой, что

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f (x) , dx = 0.}$

потом

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f '^ {2} (x) , dx geq int _ {0} ^ {2 pi} f ^ {2} (x) , dx}$

с равенством если и только если ж(Икс) = а грех (Икс) + б cos (Икс) для некоторых а и б (или эквивалентно ж(Икс) = c грех (Икс + d) для некоторых c и d).

Этот вариант неравенства Виртингера является одномерным Неравенство Пуанкаре, с оптимальной константой.

Вторая версия

Следующее родственное неравенство также называется неравенством Виртингера (Дим и Маккин 1985 ):

${ displaystyle pi ^ {2} int _ {0} ^ {a} | f | ^ {2} leq a ^ {2} int _ {0} ^ {a} | f '| ^ {2 }}$

в любое время ж это C¹ функция такая, что ж(0) = ж(а) = 0. В этой форме неравенство Виртингера рассматривается как одномерный вариант Неравенство Фридрихса.

Доказательство

Доказательства двух версий аналогичны. Вот доказательство первой версии неравенства. С Условия Дирихле встретились, мы можем написать

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} a_ {0} + sum _ {n geq 1} left (a_ {n} { frac { sin nx} { sqrt { pi}}} + b_ {n} { frac { cos nx} { sqrt { pi}}} right),}$

и более того а₀ = 0, поскольку интеграл от ж исчезает. К Личность Парсеваля,

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f ^ {2} (x) dx = sum _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} ^ {2} + b_ { n} ^ {2})}$

и

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f '^ {2} (x) , dx = sum _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {2} (a_ {n } ^ {2} + b_ {n} ^ {2})}$

а так как все слагаемые ≥ 0, мы получаем желаемое неравенство с равенством тогда и только тогда, когда а_п = б_п = 0 для всех п ≥ 2.

Рекомендации

• Дым, Н; Маккин, Х (1985), Ряды и интегралы Фурье, Академическая пресса, ISBN  978-0-12-226451-1
• Пол Дж. Нахин (2006) Сказочная формула доктора Эйлера, стр.183, Princeton University Press ISBN  0-691-11822-1

• Комков Вадим (1983) Формула потери устойчивости Эйлера и неравенство Виртингера. Междунар. J. Math. Эд. Sci. Tech. 14, вып. 6, 661–668.

В этой статье используется материал из неравенства Виртингера по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.