Презентация Wirtinger - Wirtinger presentation

В математика, особенно в теория групп, а Презентация Wirtinger конечный презентация где отношения имеют вид ${ displaystyle wg_ {i} w ^ {- 1} = g_ {j}}$ куда ${ displaystyle w}$ это слово в генераторах, ${ displaystyle {g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {k} }.}$ Вильгельм Виртингер заметил, что дополнения узлов в 3-х местный имеют фундаментальные группы с презентациями этой формы.

Предварительные сведения и определение

А морской узел K является вложением одной сферы S¹ в трехмерном пространстве р³. (В качестве альтернативы, окружающее пространство также можно принять за трехсферную S³, что не имеет значения для целей представления Виртингера.) Открытое подпространство, которое является дополнением узла, ${ Displaystyle S ^ {3} setminus K}$ является дополнением к узлу. Его фундаментальная группа ${ Displaystyle pi _ {1} (S ^ {3} setminus K)}$ инвариант узла в том смысле, что эквивалентные узлы иметь изоморфные группы узлов. Поэтому интересно понять эту группу доступным способом.

А Презентация Wirtinger выводится из регулярной проекции ориентированный узел. Такую проекцию можно представить в виде конечного числа (ориентированных) дуг на плоскости, разделенных пересечениями проекции. Основная группа образуется петлями, наматывающимися вокруг каждой дуги. Каждое пересечение порождает определенное отношение между образующими, соответствующими дугам, пересекающимся на пересечении.

Wirtinger презентации узлов больших размеров

В более общем плане, двумерное измерение узлы в сферы известны презентации Wirtinger. Мишель Кервер доказал, что абстрактная группа является фундаментальной группой внешнего узла (в, возможно, многомерной сфере) тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:

В абелианизация группы - целые числа.
2-й гомология группы тривиально.
Группа конечно представлен.
Группа - это нормальное закрытие одного генератора.

Условия (3) и (4) по сути являются переформулированным условием представления Виртингера. Кервер доказал в размерностях 5 и более, что указанные выше условия необходимы и достаточны. Описание групп узлов в четвертой размерности - открытая проблема.

Примеры

Для трилистник, презентацию Виртингера можно показать как

{ displaystyle pi _ {1} ( mathbb {R} ^ {3} backslash { text {trefoil}}) = langle x, y mid yxy = xyx rangle.}

Смотрите также

Группа узлов

дальнейшее чтение

Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и ссылки, Серия лекций по математике, 7, Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть, ISBN 978-0-914098-16-4, раздел 3D
Каваути, Акио (1996), Обзор теории узлов, Биркхойзер, Дои:10.1007/978-3-0348-9227-8, ISBN 978-3-0348-9953-6
Хиллман, Джонатан (2012), Алгебраические инварианты зацеплений, Серия о узлах и обо всем, 52, World Scientific, Дои:10.1142/9789814407397, ISBN 9789814407397
Ливингстон, Чарльз (1993), Теория узлов, Математическая ассоциация Америки