Омега-функция Райта - Wright Omega function

Омега-функция Райта вдоль части действительной оси

В математика, то Омега-функция Райта или же Функция Райта,^{[примечание 1]} обозначается ω, определяется в терминах W функция Ламберта в качестве:

${displaystyle omega (z) = W _ {{ig lceil} {frac {mathrm {Im} (z) -pi} {2pi}} {ig ceil}} (e ^ {z}).}$

Использует

Одно из основных применений этой функции - разрешение уравнения z = ln (z), так как единственное решение дает z = е^{−ω (π я)}.

у = ω (z) - единственное решение, когда ${displaystyle zeq xpm ipi}$ за Икс ≤ −1, уравнения у + ln (у) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта непрерывный, четное аналитический.

Характеристики

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению ${displaystyle W_ {k} (z) = omega (ln (z) + 2pi ik)}$.

Он также удовлетворяет дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {Domega} {dz}} = {frac {omega} {1 + omega}}}$

везде, где ω является аналитическим (как можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстанавливая уравнение ${displaystyle ln (omega) + omega = z}$), и, как следствие, его интеграл можно выразить как:

${displaystyle int w ^ {n}, dz = {egin {case} {frac {omega ^ {n + 1} -1} {n + 1}} + {frac {omega ^ {n}} {n}} & {mbox {if}} neq -1, ln (omega) - {frac {1} {omega}} & {mbox {if}} n = -1.end {case}}}$

Его Серия Тейлор вокруг точки ${displaystyle a = omega _ {a} + ln (omega _ {a})}$ принимает форму:

${displaystyle omega (z) = sum _ {n = 0} ^ {+ infty} {frac {q_ {n} (omega _ {a})} {(1 + omega _ {a}) ^ {2n-1} }} {гидроразрыв {(za) ^ {n}} {n!}}}$

куда

${displaystyle q_ {n} (w) = sum _ {k = 0} ^ {n-1} {igg langle} !! {igg langle} {egin {matrix} n + 1 kend {matrix}} {igg angle } !! {igg angle} (- 1) ^ {k} w ^ {k + 1}}$

в котором

${displaystyle {igg langle} !! {igg langle} {egin {matrix} n kend {matrix}} {igg angle} !! {igg angle}}$

второго порядка Число Эйлера.

Значения

${displaystyle {egin {array} {lll} omega (0) & = W_ {0} (1) & приблизительно 0,56714 omega (1) & = 1 & omega (-1pm ipi) & = - 1 & omega (- {frac {1} {3}} + ln left ({frac {1} {3}} ight) + ipi) & = - {frac {1} {3}} & omega (- {frac {1} {3} } + ln left ({frac {1} {3}} ight) -ipi) & = W _ {- 1} left (- {frac {1} {3}} e ^ {- {frac {1} {3} }} ight) & приблизительно -2,237147028 end {array}}}$

Сюжеты

• Графики омега-функции Райта на комплексной плоскости
• 

  z = Re (ω (Икс + я у))

• 

  z = Im (ω (Икс + я у))

• 

  ω (Икс + я у)

Примечания

Рекомендации

• «О функции Райта ω», Роберт Корлесс и Дэвид Джеффри