Алгебра Лукасевича – Мойсила - Łukasiewicz–Moisil algebra

Алгебры Лукасевича – Мойсила (LM_п алгебры) были представлены в 1940-х годах Григоре Моисил (первоначально под названием Алгебры Лукасевича^[1]) в надежде дать алгебраическая семантика для п-значен Логика Лукасевича. Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что для п ≥ 5, алгебра Лукасевича – Мойсила не модель логика Лукасевича. Верная модель для ℵ₀-значный (бесконечно многозначный) Логика Лукасевича – Тарского был предоставлен К. С. Чанг с MV-алгебра, введенный в 1958 г. Для аксиоматически более сложных (конечных) п-значные логики Лукасевича, подходящие алгебры были опубликованы в 1977 г. Реваз Григолия и назвал MV_п-алгебры.^[2] MV_п-алгебры являются подклассом LM_п-алгебр, а включение строгое для п ≥ 5.^[3] В 1982 г. Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, добавленные в LM_п-алгебры создают подходящие модели для п-значная логика Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственные алгебры Лукасевича.^[4]

Однако Моисил опубликовал в 1964 году логику, соответствующую его алгебре (в общем п ≥ 5 случаев), теперь называется Мойсил логика.^[2] После контакта с Заде с нечеткая логика, в 1968 г. Мойсил также ввел вариант бесконечно многозначной логики и соответствующий ей вариант. LM_θ алгебры.^[5] Хотя Следствие Лукасевича не может быть определено в LM_п алгебра для п ≥ 5, Значение Гейтинга может быть, т.е. LM_п алгебры Гейтинговые алгебры; в результате логика Мойсила также может быть развита (с чисто логической точки зрения) в рамках теории Брауэра. интуиционистская логика.^[6]

Определение

LM_п алгебра - это Алгебра де Моргана (понятие, также введенное Моисилом) с п-1 дополнительная унарная, «модальная» операция: ${ displaystyle nabla _ {1}, ldots, nabla _ {n-1}}$ , т.е. алгебра подпись ${ displaystyle (A, vee, клин, neg, nabla _ {j in J}, 0,1)}$ куда J = { 1, 2, ... п-1}. (В некоторых источниках дополнительные операторы обозначаются как ${ displaystyle nabla _ {j in J} ^ {n}}$ чтобы подчеркнуть, что они зависят от порядка п алгебры.^[7]) Дополнительные унарные операторы ∇_j должен удовлетворять следующим аксиомам для всех Икс, у ∈ А и j, k ∈ J:^[3]

${ Displaystyle набла _ {j} (х vee y) = ( nabla _ {j} ; x) vee ( nabla _ {j} ; y)}$
${ displaystyle nabla _ {j} ; x vee neg nabla _ {j} ; x = 1}$
${ displaystyle nabla _ {j} ( nabla _ {k} ; x) = nabla _ {k} ; x}$
${ displaystyle nabla _ {j} neg x = neg nabla _ {n-j} ; x}$
${ displaystyle nabla _ {1} ; x leq nabla _ {2} ; x cdots leq nabla _ {n-1} ; x}$
если ${ displaystyle nabla _ {j} ; x = nabla _ {j} ; y}$ для всех j ∈ J, тогда Икс = у.

(Прилагательное «модальный» связано с [окончательно провальной] программой Таркси и Лукасевича по аксиоматизации модальная логика используя многозначную логику.)

Элементарные свойства

Двойники некоторых из вышеперечисленных аксиом следуют как свойства:^[3]

${ Displaystyle набла _ {j} (х клин у) = ( набла _ {j} ; х) клин ( набла _ {j} ; у)}$
${ displaystyle nabla _ {j} ; x wedge neg nabla _ {j} ; x = 0}$

Кроме того: ${ displaystyle nabla _ {j} ; 0 = 0}$ и ${ Displaystyle набла _ {j} ; 1 = 1}$ .^[3] Другими словами, унарные «модальные» операции ${ displaystyle nabla _ {j}}$ решетка эндоморфизмы.^[6]

Примеры

LM₂ алгебры Булевы алгебры. Каноническая алгебра Лукасевича ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {n}}$ что имел в виду Мойсил L_n = { 0, 1/(п − 1), 2/(п − 1), ..., (п-2)/(п-1), 1 } с отрицанием ${ displaystyle neg x = 1-x}$ соединение ${ Displaystyle х клин у = мин {х, у }}$ и дизъюнкция ${ Displaystyle х ви у = макс {х, у }}$ и унарные «модальные» операторы:

{ displaystyle nabla _ {j} left ({ frac {i} {n-1}} right) = ; { begin {cases} 0 & { mbox {if}} i + j

Если B булева алгебра, то алгебра над множеством B^[2] ≝ {(Икс, у) ∈ B×B | Икс ≤ у} с решеточными операциями, определенными точечно и с ¬ (Икс, у) ≝ (¬у, ¬Икс), а также с унарными «модальными» операторами₂(Икс, у) ≝ (у, у) и ∇₁(Икс, у) = ¬∇₂¬(Икс, у) = (Икс, Икс) [полученная по аксиоме 4] является трехзначной алгеброй Лукасевича.^[7]

Представление

Мойсил доказал, что каждый LM_п алгебра может быть встроенный в прямой продукт (копий) канонической ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {n}}$ алгебра. Как следствие, каждая LM_п алгебра - это подпрямой продукт из подалгебры из ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {n}}$ .^[3]

Смысл Гейтинга можно определить как:^[6]

{ displaystyle x Rightarrow y ; { overset { mathrm {def}} {=}} ; y vee bigwedge _ {j in J} ( neg nabla _ {j} ; x) vee ( nabla _ {j} ; y)}

Антонио Монтейро показал, что для каждого монадическая булева алгебра можно построить трехвалентную алгебру Лукасевича (взяв определенные классы эквивалентности) и что любая трехвалентная алгебра Лукасевича изоморфна алгебре Лукасевича, полученной таким образом из монадической булевой алгебры.^[7]^[8] Чиньоли резюмирует важность этого результата следующим образом: «Поскольку Халмош показал, что монадические булевы алгебры являются алгебраическим аналогом классического монадического исчисления первого порядка, Монтейро считал, что представление трехзначных алгебр Лукасевича в монадические булевы алгебры дает доказательство того, что непротиворечивость трехзначной логики Лукасевича по сравнению с классической логикой ».^[7]

дальнейшее чтение

Раймонд Бальбес; Филип Двинджер (1975). Распределительные решетки. Университет Миссури Пресс. Глава IX. Алгебры Де Моргана и Алгебры Лукасевича. ISBN 978-0-8262-0163-8.
Боческу, В., Филипою, А., Георгеску, Г., Рудяну, С .: Алгебры Лукасевича-Моисила. Северная Голландия, Амстердам (1991) ISBN 0080867898
Иоргулеску, А .: Связь между МВ_п-алгебры и п-значные алгебры Лукасевича – Мойсила - II. Дискретная математика. 202, 113–134 (1999) Дои:10.1016 / S0012-365X (98) 00289-1
Иоргулеску, А .: Связь между МВ_п-алгебры и п-значен Лукасевич-Мойсил — III. Неопубликованная рукопись
Иоргулеску, А .: Связь между МВ_п-алгебры и п-значные алгебры Лукасевича – Мойсила — IV. J. Univers. Comput. Sci. 6. С. 139–154 (2000). Дои:10.3217 / jucs-006-01-0139
Р. Чиньоли, Algebras de Moisil de Orden n, Ph.D. Диссертация, Национальный университет дель Сур, Баия-Бланка, 1969 г.
http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424

[1] Андрей Попеску, Алгебры отношений Лукасевича-Мойсила, Studia Logica, Vol. 81, No. 2 (ноябрь 2005 г.), стр. 167-189

[Ciungu2013-2] а ^б Лавиния Корина Чунгу (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры. Springer. стр. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.

[iorg1-3] а ^б ^c ^d ^е Иоргулеску, А .: Связь между МВ_п-алгебры и п-значные алгебры Лукасевича-Мойсила —I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) Дои:10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6

[4] Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры Лукасевича п-Значенные исчисления высказываний, Studia Logica, 41, 1982, 3–16, Дои:10.1007 / BF00373490

[5] Георгеску, Г., Иургулеску, А., Рудяну, С .: "Григоре К. Мойсил (1906–1973) и его школа алгебраической логики. "Международный журнал компьютеров, связи и управления 1, 81–99 (2006).

[Geo-6] а ^б ^c Георгеску, Г. (2006). "N-значные логики и алгебры Лукасевича – Мойсила". Аксиоматы. 16: 123. Дои:10.1007 / s10516-005-4145-6., Теорема 3.6

[cign07-7] а ^б ^c ^d Чиньоли, Р., «Алгебры многозначной логики Лукасевича - исторический обзор», в С. Агуццоли и др. (Ред.), Алгебраические и теоретико-доказательные аспекты неклассической логики, LNAI 4460, Springer, 2007 , 69-83. Дои:10.1007/978-3-540-75939-3_5

[8] Монтейро, Антониу "Sur les algèbres de Heyting symétriques". Portugaliae mathematica 39.1–4 (1980): 1–237. Глава 7. С. 204-206.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]