Монадическая булева алгебра - Monadic Boolean algebra

В абстрактная алгебра, а монадическая булева алгебра является алгебраическая структура А с участием подпись

⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ из тип ⟨2,2,1,0,0,1⟩,

где ⟨А, ·, +, ', 0, 1⟩ является Булева алгебра.

В монадический /унарный оператор ∃ обозначает экзистенциальный квантор, которая удовлетворяет тождествам (используя полученные приставка обозначение ∃):

  • ∃0 = 0
  • ∃Икс ≥ Икс
  • ∃(Икс + у) = ∃Икс + ∃у
  • ∃Икс∃у = ∃(Икс∃у).

∃Икс это экзистенциальное завершение из Икс. Двойной к ∃ - это унарный оператор ∀, универсальный квантор, определяемый как ∀Икс := (∃Икс' )'.

Монадическая булева алгебра имеет двойственное определение и обозначения, которые принимают как примитивную, а как определенную, так что ∃Икс := (∀Икс ')'. (Сравните это с определением двойной Булева алгебра.) Следовательно, в этих обозначениях алгебра А имеет сигнатуру ·, +, ', 0, 1, ∀⟩, с ⟨А, ·, +, ', 0, 1⟩ булева алгебра, как и раньше. Кроме того, удовлетворяет следующему дуальный версия вышеуказанных идентичностей:

  1. ∀1 = 1
  2. ∀Икс ≤ Икс
  3. ∀(ху) = ∀Икс∀у
  4. ∀Икс + ∀у = ∀(Икс + ∀у).

∀Икс это универсальное закрытие из Икс.

Обсуждение

Монадические булевы алгебры имеют важную связь с топология. Если ∀ интерпретируется как оператор интерьера топологии (1) - (3) выше плюс аксиома ∀ (∀Икс) = ∀Икс составляют аксиомы для внутренняя алгебра. Но ∀ (∀Икс) = ∀Икс можно доказать из (1) - (4). Более того, альтернативная аксиоматизация монадических булевых алгебр состоит из (переинтерпретированных) аксиом для внутренняя алгебра, плюс ∀ (∀Икс)' = (∀Икс) '(Халмос 1962: 22). Следовательно, монадические булевы алгебры являются полупростой интерьер /алгебры замыкания такой, что:

  • Универсальный (двойственный, экзистенциальный) квантор интерпретирует интерьер (закрытие ) оператор;
  • Все открытые (или закрытые) элементы также прищемить.

Более краткая аксиоматизация монадической булевой алгебры - это (1) и (2) выше, плюс ∀ (Икс∨∀у) = ∀Икс∨∀у (Халмос 1962: 21). Эта аксиоматизация затемняет связь с топологией.

Монадические булевы алгебры образуют разнообразие. Они должны монадическая логика предикатов какая Булевы алгебры должны логика высказываний, и что полиадические алгебры должны логика первого порядка. Пол Халмос открыл монадические булевы алгебры, работая над полиадическими алгебрами; Халмос (1962) перепечатывает соответствующие статьи. Halmos и Givant (1998) включают в себя изучение монадической булевой алгебры для студентов.

Монадические булевы алгебры также имеют важную связь с модальная логика. Модальная логика S5, рассматриваемая как теория в S4, является моделью монадических булевых алгебр так же, как S4 модель внутренней алгебры. Точно так же монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическую семантику для S5. Следовательно S5-алгебра это синоним для монадической булевой алгебры.

Смотрите также

использованная литература

  • Пол Халмос, 1962. Алгебраическая логика. Нью-Йорк: Челси.
  • ------ и Стивен Гивант, 1998. Логика как алгебра. Математическая ассоциация Америки.