Цилиндрическая алгебра - Википедия - Cylindric algebra

Понятие цилиндрическая алгебра, изобретенный Альфред Тарский, естественно возникает в алгебраизация из логика первого порядка с равенством. Это сравнимо с ролью Булевы алгебры играть за логика высказываний. В самом деле, цилиндрические алгебры - это булевы алгебры, снабженные дополнительными операциями цилиндрификации, которые моделируют количественная оценка и равенство. Они отличаются от полиадические алгебры в том, что последние не моделируют равенство.

Определение цилиндрической алгебры

А цилиндрическая алгебра размерности (куда есть ли порядковый номер ) является алгебраической структурой такой, что это Булева алгебра, унарный оператор на для каждого (называется цилиндрификация), и выдающийся элемент для каждого и (называется диагональ) такие, что имеют место следующие условия:

(C1)
(C2)
(C3)
(C4)
(C5)
(C6) Если , тогда
(C7) Если , тогда

Предполагая представление логики первого порядка без функциональных символов, Оператор модели экзистенциальная количественная оценка сверх переменной в формуле в то время как оператор моделирует равенство переменных и . Отныне, переформулированные с использованием стандартных логических обозначений, аксиомы читаются как

(C1)
(C2)
(C3)
(C4)
(C5)
(C6) Если переменная отличается от обоих и , тогда
(C7) Если и - разные переменные, то

Цилиндрические алгебры множеств

А цилиндрическая алгебра множеств размерности является алгебраической структурой такой, что это поле наборов, дан кем-то , и дан кем-то .[1] Это обязательно подтверждает аксиомы C1 – C7 цилиндрической алгебры с вместо , вместо , установить дополнение для дополнения, пусто установить как 0, как единица, и вместо . Набор Икс называется основание.

Не всякая цилиндрическая алгебра имеет представление как цилиндрическая алгебра множеств.[нужна цитата ][пример необходим ] Легче связать семантику логики предикатов первого порядка с цилиндрической алгеброй множеств. (Подробнее см. дальнейшее чтение раздел.)

Обобщения

Цилиндрические алгебры обобщены на случай разносторонняя логика (Caleiro and Gonçalves 2006), что позволяет лучше моделировать двойственность между формулами и терминами первого порядка.

Связь с монадической булевой алгеброй

Когда и ограничены значением только 0, то становится , диагонали можно опустить, и следующая теорема цилиндрической алгебры (Пинтер, 1973):

превращается в аксиому

из монадическая булева алгебра. Аксиома (C4) выпадает. Таким образом, монадическую булеву алгебру можно рассматривать как ограничение цилиндрической алгебры на случай одной переменной.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Хирш и Ходкинсон с. 167, определение 5.16.

Рекомендации

  • Чарльз Пинтер (1973). «Простая алгебра логики первого порядка». Журнал формальной логики Нотр-Дам. XIV: 361–366.
  • Леон Хенкин, Монк, Д.Д., и Альфред Тарский (1971) Цилиндрические алгебры, часть I. Северная Голландия. ISBN  978-0-7204-2043-2.
  • Леон Хенкин, Монк, Джей Ди, и Альфред Тарски (1985) Цилиндрические алгебры, часть II.. Северная Голландия.
  • Робин Хирш и Ян Ходкинсон (2002) Алгебры отношений по играм Исследования по логике и основам математики, Северная Голландия
  • Карлос Калейро, Рикардо Гонсалвеш (2006). «Об алгебраизации многомерных логик» (PDF). В J. Fiadeiro и P.-Y. Schobbens (ред.). Proc. 18 инт. конф. о последних тенденциях в методах алгебраического развития (WADT). LNCS. 4409. Springer. С. 21–36. ISBN  978-3-540-71997-7.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка