Абстрактная алгебраическая логика - Abstract algebraic logic

В математическая логика, абстрактная алгебраическая логика это изучение алгебраизации дедуктивные системы возникающий как абстракция известного Алгебра Линденбаума – Тарского, и как полученные алгебры связаны с логическими системами.^[1]

История

Архетипическая ассоциация такого рода, одна из фундаментальных для исторического происхождения алгебраическая логика и лежит в основе всех впоследствии разработанных подтеорий, это связь между классом Булевы алгебры и классический пропозициональное исчисление. Эта связь была обнаружена Джордж Буль в 1850-х годах, а затем получили дальнейшее развитие и уточнение другими, особенно К. С. Пирс и Эрнст Шредер, с 1870-х по 1890-е гг. Эта работа завершилась Алгебры Линденбаума – Тарского, разработанный Альфред Тарский и его ученик Адольф Линденбаум в 1930-е гг. Позже Тарский и его американские ученики (в число которых входит Дон Пигоцци) продолжали открывать цилиндрическая алгебра, который алгебраизирует все классические логика первого порядка, и возродил алгебра отношений, чей модели включать все известные аксиоматические теории множеств.

Классическая алгебраическая логика, которая включала в себя все работы по алгебраической логике примерно до 1960 г., изучала свойства конкретных классов алгебр, используемых для «алгебраизации» конкретных логических систем, представляющих особый интерес для конкретных логических исследований. Как правило, алгебра, связанная с логической системой, оказалась разновидностью решетка, возможно, обогащенный одним или несколькими унарные операции кроме решетки дополнение.

Абстрактная алгебраическая логика это современная область алгебраической логики, которая возникла в Польше в 1950-60-е годы благодаря работам Хелена Расёва, Роман Сикорский, Ежи Лось, и Роман Сушко (чтобы назвать лишь некоторых). Он достиг своей зрелости в 1980-х годах с основополагающими публикациями польского логика. Януш Челаковски, голландский логик Вим Блок и американский логик Дон Пигоцци. Фокус абстрактной алгебраической логики сместился с изучения конкретных классов алгебр, связанных с конкретными логическими системами (в центре внимания классической алгебраической логики), к изучению:

Классы алгебр, связанные с классами логических систем, все члены которых удовлетворяют определенным абстрактным логическим свойствам;
Процесс, посредством которого класс алгебр становится «алгебраическим аналогом» данной логической системы;
Связь между металогическими свойствами, которым удовлетворяет класс логических систем, и соответствующими алгебраическими свойствами, которым удовлетворяют их алгебраические аналоги.

Переход от классической алгебраической логики к абстрактной алгебраической логике можно сравнить с переходом от «современной» или абстрактная алгебра (т.е. изучение группы, кольца, модули, поля и т. д.) универсальная алгебра (изучение классов алгебр произвольных типов подобия (алгебраических подписи ) удовлетворяющие конкретным абстрактным свойствам).

Две основные мотивации для развития абстрактной алгебраической логики тесно связаны с пунктами (1) и (3) выше. Что касается (1), критический шаг в переходе был инициирован работой Расиовой. Ее цель состояла в том, чтобы абстрагироваться от результатов и методов, которые, как известно, верны для классических пропозициональное исчисление и Булевы алгебры и некоторые другие тесно связанные логические системы таким образом, чтобы эти результаты и методы могли быть применены к гораздо более широкому разнообразию логик высказываний.

(3) во многом обязан совместной работе Блока и Пигоцци по изучению различных форм, которые хорошо известные теорема дедукции классического исчисления высказываний и логика первого порядка принимает участие в большом количестве логических систем. Они связали эти различные формы теоремы дедукции со свойствами алгебраических аналогов этих логических систем.

Абстрактная алгебраическая логика превратилась в хорошо известное подразделение алгебраической логики со многими глубокими и интересными результатами. Эти результаты объясняют многие свойства различных классов логических систем, ранее объясненные только в индивидуальном порядке или окутанные тайной. Возможно, наиболее важным достижением абстрактной алгебраической логики явилась классификация логик высказываний в иерархия, называется абстрактная алгебраическая иерархия или иерархия Лейбница, разные уровни которой примерно отражают силу связей между логикой на определенном уровне и связанным с ней классом алгебр. Положение логики в этой иерархии определяет степень, в которой эта логика может быть изучена с использованием известных алгебраических методов и приемов. Как только логика назначена на уровень этой иерархии, можно использовать мощный арсенал результатов, накопленных за последние 30 с лишним лет, управляющих алгебрами, расположенными на том же уровне иерархии.

Приведенная выше терминология может вводить в заблуждение. «Абстрактная алгебраическая логика» часто используется для обозначения подхода венгерской школы, включая Хайнал Андрека, Иштван Немети и другие. То, что в предыдущих абзацах называется «абстрактной алгебраической логикой», должно называться «алгебраической логикой». Алгебраизация систем Генцена Рамоном Янсана, Дж. Фонтом и другими является значительным улучшением по сравнению с «алгебраической логикой».

Примеры

Логическая система	Алгебраический аналог
Логика высказываний	Булевы алгебры
Интуиционистский логика высказываний	Гейтинговые алгебры
Пропозициональный модальная логика	Булевы алгебры с операторами Модальная алгебра
Логика первого порядка	Цилиндрические алгебры Полиадическая алгебра Логика функтора предиката
Теория множеств	Комбинаторная логика Алгебра отношений Булева алгебра

Смотрите также

Примечания

^ Шрифт, 2003 г.

внешняя ссылка

Стэнфордская энциклопедия философии: "Алгебраическая логика высказываний "- Рамон Янсана.

[1] Шрифт, 2003 г.

[1]