Affine bundle - Википедия - Affine bundle

В математике аффинный пучок это пучок волокон чей типичный слой, слои, морфизмы тривиализации и функции перехода аффинны.^[1]

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle { overline { pi}}: { overline {Y}} to X}$ быть векторный набор с типичным волокном а векторное пространство ${ displaystyle { overline {F}}}$. An аффинный пучок моделируется на векторном расслоении ${ displaystyle { overline { pi}}: { overline {Y}} to X}$ это пучок волокон ${ displaystyle pi: от Y до X}$ чье типичное волокно ${ displaystyle F}$ является аффинное пространство по образцу ${ displaystyle { overline {F}}}$ так что выполняются следующие условия:

(i) Все волокна ${ displaystyle Y_ {x}}$ из ${ displaystyle Y}$ являются аффинными пространствами, моделируемыми над соответствующими слоями ${ displaystyle { overline {Y}} _ {x}}$ векторного расслоения ${ displaystyle { overline {Y}}}$.

(ii) Существует атлас аффинного расслоения ${ displaystyle Y to X}$ морфизмы локальных тривиализаций и переходные функции которых аффинные изоморфизмы.

Имея дело с аффинными связками, используются только координаты аффинных связок. ${ Displaystyle (х ^ { му}, у ^ {я})}$ обладающие аффинными переходными функциями

${ displaystyle y '^ {i} = A_ {j} ^ {i} (x ^ { nu}) y ^ {j} + b ^ {i} (x ^ { nu}).}$

Есть морфизмы расслоения

${ displaystyle Y times _ {X} { overline {Y}} longrightarrow Y, qquad (y ^ {i}, { overline {y}} ^ {i}) longmapsto y ^ {i} + { overline {y}} ^ {i},}$

${ displaystyle Y times _ {X} Y longrightarrow { overline {Y}}, qquad (y ^ {i}, y '^ {i}) longmapsto y ^ {i} -y' ^ {i },}$

куда ${ displaystyle ({ overline {y}} ^ {i})}$ - координаты линейного расслоения на векторном расслоении ${ displaystyle { overline {Y}}}$, обладающие линейными переходными функциями ${ displaystyle { overline {y}} '^ {i} = A_ {j} ^ {i} (x ^ { nu}) { overline {y}} ^ {j}}$.

Характеристики

Аффинный пучок имеет глобальный раздел, но, в отличие от векторных расслоений, у аффинного расслоения нет канонического глобального сечения. Позволять ${ displaystyle pi: от Y до X}$ быть аффинным пучком, смоделированным на векторный набор ${ displaystyle { overline { pi}}: { overline {Y}} to X}$. Каждый глобальный раздел ${ displaystyle s}$ аффинного пучка ${ displaystyle Y to X}$ дает морфизмы расслоений

${ displaystyle Y ni y to ys ( pi (y)) in { overline {Y}}, qquad { overline {Y}} ni { overline {y}} to s ( pi (y)) + { overline {y}} in Y.}$

В частности, каждое векторное расслоение ${ displaystyle Y}$ имеет естественную структуру аффинного расслоения благодаря этим морфизмам, где ${ displaystyle s = 0}$ каноническое нулевое сечение ${ displaystyle Y}$. Например, касательный пучок ${ displaystyle TX}$ многообразия ${ displaystyle X}$ естественно является аффинным расслоением.

Аффинный пучок ${ displaystyle Y to X}$ расслоение с общее аффинное структурная группа ${ Displaystyle GA (м, mathbb {R})}$ аффинных преобразований его типичного слоя ${ displaystyle V}$ измерения ${ displaystyle m}$. Эта структурная группа всегда сводимый к общая линейная группа ${ Displaystyle GL (м, mathbb {R})}$, т.е. аффинное расслоение допускает атлас с линейными функциями перехода.

Под морфизмом аффинных расслоений понимается морфизм расслоений ${ displaystyle Phi: от Y до Y '}$ чье ограничение на каждый слой ${ displaystyle Y}$ является аффинным отображением. Каждый морфизм аффинного расслоения ${ displaystyle Phi: от Y до Y '}$ аффинного пучка ${ displaystyle Y}$ моделируется на векторном расслоении ${ displaystyle { overline {Y}}}$ к аффинному пучку ${ displaystyle Y '}$ моделируется на векторном расслоении ${ displaystyle { overline {Y}} '}$ дает единственный морфизм линейного расслоения

${ displaystyle { overline { Phi}}: { overline {Y}} to { overline {Y}} ', qquad { overline {y}}' ^ {i} = { frac { частичное Phi ^ {i}} { partial y ^ {j}}} { overline {y}} ^ {j},}$

называется линейная производная из ${ displaystyle Phi}$.

Смотрите также

• Пучок волокна
• Волокнистый коллектор
• Векторный набор
• Аффинное пространство

Примечания

Рекомендации

• С. Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, Тт. 1 и 2, Wiley-Interscience, 1996 г., ISBN  0-471-15733-3.
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Натуральные операторы в дифференциальной геометрии (PDF), Springer-Verlag, архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-30, получено 2013-05-28
• Сарданашвили, Г., Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория, Lambert Academic Publishing, 2013 г., ISBN  978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886.
• Сондерс, Д.Дж. (1989), Геометрия струйных пучков, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36948-7