Волокнистый коллектор - Fibered manifold

В дифференциальная геометрия, в категории дифференцируемые многообразия, а расслоенное многообразие это сюръективный погружение

{ displaystyle pi двоеточие E to B ,}

т.е. сюръективное дифференцируемое отображение такое, что в каждой точке $y \in E$ касательное отображение

{ Displaystyle T_ {y} pi двоеточие T_ {y} E to T _ { pi (y)} B}

сюръективно, или, что то же самое, его ранг равен dim $B$ .^[1]

История

В топология, слова волокно (Faser на немецком языке) и волоконное пространство (gefaserter Raum) впервые появилась в статье Зейферт в 1932 году, но его определения ограничиваются очень частным случаем.^[2] Однако главное отличие от современной концепции волоконного пространства заключалось в том, что для Зайферта то, что сейчас называется базовое пространство (топологическое пространство) расслоенного (топологического) пространства E не был частью структуры, но производным от нее как факторпространство E. Первое определение волоконное пространство дан кем-то Хасслер Уитни в 1935 г. под названием сфера, но в 1940 году Уитни сменила название на связка сфер.^[3]^[4]

Теория расслоенных пространств, из которых векторные пучки, основные связки, топологический расслоения расслоенные многообразия - частный случай, приписывается Зейферт, Хопф, Фельдбау, Уитни, Стинрод, Ehresmann, Серр, и другие.^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Формальное определение

Тройной $(E, π, B)$ куда $E$ и $B$ являются дифференцируемыми многообразиями и $π : E \to B$ является сюръективной субмерсией, называется расслоенное многообразие.^[10] E называется общая площадь, B называется основание.

Примеры

Каждый дифференцируемый пучок волокон это расслоенное многообразие.
Каждый дифференцируемый покрывающее пространство это слоистое многообразие с дискретным волокном.
В общем, расслоенный коллектор не обязательно должен быть пучком волокон: разные волокна могут иметь разную топологию. Пример этого явления можно построить, взяв тривиальное расслоение $(S 1 \times ℝ, π 1, S 1)$ и удаление двух точек в двух разных волокнах над базовым многообразием $S 1$ В результате получается новое расслоенное многообразие, в котором все волокна, кроме двух, соединены.

Характеристики

Любое сюръективное погружение $π : E \to B$ открыто: для каждого открытого $V \subset E$ , набор $π (V) \subset B$ открыт в $B$ .
Каждое волокно $π -1 (б) \subset E, б \in B$ замкнутое вложенное подмногообразие в $E$ измерения $тусклый E - тусклый B$ .^[11]
Расслоенное многообразие допускает локальные сечения: для каждого $y \in E$ есть открытый район $U$ из $π (y)$ в $B$ и гладкое отображение $s : U \to E$ с $π \circ s = Id U$ и $s (π (y)) = y$ .
Сюрприз $π : E \to B$ является расслоенным многообразием тогда и только тогда, когда существует локальное сечение $s : B \to E$ из $π$ (с $π \circ s = Id B$ ) проходя через каждую $y \in E$ .^[12]

Волокнистые координаты

Позволять $B$ (соотв. $E$ ) быть $п$ -мерный (соотв. $п$ -мерное) многообразие. Расслоенное многообразие $(E, π, B)$ признает диаграммы волокна. Мы говорим, что Диаграмма $(V, ψ)$ на $E$ это диаграмма волокна, или адаптированный к сюръективному погружению $π : E \to B$ если есть диаграмма $(U, φ)$ на $B$ такой, что $U = π (V)$ и

{ displaystyle u ^ {1} = x ^ {1} circ pi, , u ^ {2} = x ^ {2} circ pi, , dots, , u ^ {n} = х ^ {п} circ pi ,,}

куда

{ displaystyle { begin {align} psi & = (u ^ {1}, dots, u ^ {n}, y ^ {1}, dots, y ^ {pn}). quad y_ {0 } in V, varphi & = (x ^ {1}, dots, x ^ {n}), quad pi (y_ {0}) in U. end {align}}}

Вышеупомянутое состояние волоконной диаграммы может быть эквивалентно выражено как

{ displaystyle varphi circ pi = mathrm {pr} _ {1} circ psi,}

куда

{ displaystyle { mathrm {pr} _ {1}} двоеточие { mathbb {R} ^ {n}} times { mathbb {R} ^ {pn}} to { mathbb {R} ^ { п}} ,}

проекция на первую $п$ координаты. График $(U, φ)$ тогда очевидно единственное. Ввиду указанного выше свойства слоистые координаты таблицы волокон $(V, ψ)$ обычно обозначаются $ψ = (Икс я, y σ)$ куда $я \in {1, ..., п}$ , $σ \in {1, ..., м}$ , $м = п - п$ координаты соответствующей карты $U, φ)$ на $B$ обозначаются с очевидным соглашением через $φ = (Икс я)$ куда $я \in {1, ..., п}$ .

И наоборот, если сюръекция $π : E \to B$ признает волокнистый атлас, тогда $π : E \to B$ является расслоенным многообразием.

Локальная тривиализация и расслоения слоев

Позволять $E \to B$ - расслоенное многообразие и $V$ любое многообразие. Затем открытое покрытие ${U α}$ из $B$ вместе с картами

{ Displaystyle psi: pi ^ {- 1} (U _ { alpha}) rightarrow U _ { alpha} times V,}

называется карты тривиализации, так что

{ displaystyle mathrm {pr} _ {1} circ psi _ { alpha} = pi, forall alpha}

это локальная тривиализация относительно $V$ .^[13]

Расслоенное многообразие вместе с многообразием $V$ это пучок волокон с типичное волокно (или просто волокно) $V$ если он допускает локальную тривиализацию относительно $V$ . Атлас $Ψ = {(U α, ψ α)}$ тогда называется связать атлас.

Смотрите также

Примечания

^ Коларж 1993, п. 11
^ Зайферт 1932
^ Уитни 1935
^ Уитни 1940
^ Фельдбау 1939 г.
^ Эресман 1947a
^ Эресман 1947b
^ Эресман 1955
^ Серр 1951
^ Крупка и Янишка 1990, п. 47
^ Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 11
^ Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 15
^ Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 13

внешняя ссылка

Макклири, Дж. «История многообразий и волоконных пространств: черепахи и зайцы» (pdf).

[1] Коларж 1993, п. 11

[2] Зайферт 1932

[3] Уитни 1935

[4] Уитни 1940

[5] Фельдбау 1939 г.

[6] Эресман 1947a

[7] Эресман 1947b

[8] Эресман 1955

[9] Серр 1951

[10] Крупка и Янишка 1990, п. 47

[11] Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 11

[12] Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 15

[13] Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 1997, п. 13

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]