Ак сингулярность - Ak singularity

В математика, и в частности теория сингулярности ан А_k, куда k ≥ 0 является целое число, описывает уровень вырождения функция. Обозначения были введены В. И. Арнольд.

Позволять ж : р^п → р быть гладкая функция. Обозначим через Ω (р^п,р) бесконечномерная Космос всех таких функций. Пусть diff (р^п) обозначают бесконечномерные Группа Ли из диффеоморфизмы р^п → р^п, и diff (р) бесконечномерная группа Ли диффеоморфизмов р → р. В группа товаров diff (р^п) × разница (р) действует на Ω (р^п,р) следующим образом: пусть φ: р^п → р^п и ψ: р → р быть диффеоморфизмами и ж : р^п → р любая гладкая функция. Мы определяем групповое действие следующим образом:

{displaystyle (varphi, psi) cdot f: = psi circ fcirc varphi ^ {- 1}}

В орбита из ж, обозначается orb (ж) действие этой группы определяется выражением

{displaystyle {mbox {orb}} (f) = {psi circ fcirc varphi ^ {- 1}: varphi в {mbox {diff}} ({mathbf {R}} ^ {n}), psi в {mbox {diff}) }} ({mathbf {R}})}.}

Члены данной орбиты этого действия имеют следующий общий факт: мы можем найти диффеоморфную замену координаты в р^п и диффеоморфная замена координаты в р таким образом, что один член орбиты переносится на любой другой. Функция ж говорят, что имеет тип А_k-особенность, если она лежит на орбите

{displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 1 + varepsilon _ {1} x_ {1} ^ {2} + cdots + varepsilon _ {n-1} x_ {n-1} ^ { 2} вечера x_ {n} ^ {k + 1}}

куда ${displaystyle varepsilon _ {i} = pm 1}$ и k ≥ 0 - целое число.

Автор нормальная форма мы имеем в виду особо простого представителя любой данной орбиты. Приведенные выше выражения для ж дать нормальные формы для типа А_k-особенности. Тип А_k-особенности являются особыми, потому что они находятся среди простых особенностей, это означает, что существует только конечное число других орбит в достаточно малом район орбитыж.

Эта идея распространяется на сложные числа где нормальные формы намного проще; например: нет необходимости различать ε_я = +1 от ε_я = −1.

Ак сингулярность - Ak singularity

Рекомендации