Алгебраический характер - Algebraic character

An алгебраический характер формальное выражение, прикрепленное к модулю в теория представлений из полупростые алгебры Ли это обобщает характер конечномерного представления и аналогичен Harish-Chandra персонаж представительств полупростые группы Ли.

Определение

Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ быть полупростая алгебра Ли с фиксированной Подалгебра Картана ${displaystyle {mathfrak {h}},}$ и пусть абелева группа ${displaystyle A = mathbb {Z} [[{mathfrak {h}} ^ {*}]]}$ состоят из (возможно, бесконечных) формальных целочисленных линейных комбинаций ${displaystyle e ^ {mu}}$, куда ${displaystyle mu in {mathfrak {h}} ^ {*}}$, (комплексное) векторное пространство весов. Предположим, что ${displaystyle V}$ является локально конечным весовой модуль. Тогда алгебраический характер ${displaystyle V}$ является элементом ${displaystyle A}$определяется формулой:

${displaystyle ch (V) = sum _ {mu} dim V_ {mu} e ^ {mu},}$

где сумма берется по всем весовые пространства модуля ${displaystyle V.}$

Пример

Алгебраический характер Модуль Верма ${displaystyle M_ {lambda}}$ с наибольшим весом ${displaystyle lambda}$ дается формулой

${displaystyle ch (M_ {lambda}) = {frac {e ^ {lambda}} {prod _ {alpha> 0} (1-e ^ {- alpha})}},}$

с продуктом, взятым над множеством положительных корней.

Характеристики

Алгебраические характеры определены для локально конечных весовые модули и есть добавка, т.е. характер прямой суммы модулей - это сумма их символов. С другой стороны, хотя можно определить умножение формальных показателей по формуле ${displaystyle e ^ {mu} cdot e ^ {u} = e ^ {mu + u}}$ и распространить его на свои конечный линейные комбинации по линейности, это не делает ${displaystyle A}$ в кольцо из-за возможности формальных бесконечных сумм. Таким образом, произведение алгебраических характеров корректно определяется только в ограниченных ситуациях; например, в случае модуль наибольшего веса, или конечномерный модуль. В хороших ситуациях алгебраический характер мультипликативный, т.е. характер тензорного произведения двух весовых модулей является произведением их характеров.

Обобщение

Персонажи тоже могут быть определены почти дословно для весовых модулей более Кац – Муди или же обобщенный Каца – Муди Алгебра Ли.

Смотрите также

• Алгебраическое представление
• Формула характера Вейля-Каца

Рекомендации

• Вейль, Герман (1946). Классические группы: их инварианты и представления. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-05756-7. Получено 2007-03-26.
• Кац, Виктор Г (1990). Бесконечномерные алгебры Ли. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8. Получено 2007-03-26.
• Wallach, Nolan R; Гудман, Роу (1998). Представления и инварианты классических групп.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-66348-2. Получено 2007-03-26.