Родовые отношения - Ancestral relation

В математическая логика, то родство с предками (часто сокращается до наследственный) из бинарное отношение р это его переходное закрытие, однако определенные иначе, см. ниже.

Родственные отношения впервые появляются в Фреге с Begriffsschrift. Позже Фреге использовал их в своих Grundgesetze как часть его определения конечный кардиналы. Следовательно, предки были ключевой частью его поисков логик основы арифметики.

Определение

Пронумерованные предложения ниже взяты из его Begriffsschrift и преобразовать в современные обозначения.

А свойство п называется р-наследственный если, когда Икс является п и xRy держит, то у это также п:

{ displaystyle (Px land xRy) rightarrow Py}

Фреге определил б быть р-предок из а, написано aR^*б, если б имеет каждый р-наследственное свойство, что все объекты Икс такой, что aRx имеют:

{ Displaystyle mathbf {76:} vdash aR ^ {*} b leftrightarrow forall F [ forall x (aRx to Fx) land forall x forall y (Fx land xRy to Fy) to Fb]}

Предок - это переходное отношение:

{ displaystyle mathbf {98:} vdash (aR ^ {*} b land bR ^ {*} c) rightarrow aR ^ {*} c}

Пусть обозначения я(р) обозначают, что р является функциональный (Фреге называет такие отношения "многие-один"):

{ Displaystyle mathbf {115:} vdash I (R) leftrightarrow forall x forall y forall z [(xRy land xRz) rightarrow y = z]}

Если р является функциональный, то потомок р это то, что сейчас называется связаны^{[требуется разъяснение ]}:

{ Displaystyle mathbf {133:} vdash (I (R) land aR ^ {*} b land aR ^ {*} c) rightarrow (bR ^ {*} c lor b = c lor cR ^ {*} б)}

Связь с переходным закрытием

Родственные отношения ${ Displaystyle R ^ {*}}$ равно переходное закрытие ${ Displaystyle R ^ {+}}$ из ${ displaystyle R}$ . В самом деле, ${ Displaystyle R ^ {*}}$ транзитивен (см. 98 над), ${ Displaystyle R ^ {*}}$ содержит ${ displaystyle R}$ (действительно, если aRb тогда, конечно, б имеет каждый р-наследственное свойство, что все объекты Икс такой, что aRx есть, потому что б один из них), и, наконец, ${ Displaystyle R ^ {*}}$ содержится в ${ Displaystyle R ^ {+}}$ (действительно, предположим ${ displaystyle aR ^ {*} b}$ ; взять собственность ${ displaystyle Fx}$ быть ${ displaystyle aR ^ {+} x}$ ; затем два помещения, ${ displaystyle forall x (aRx to Fx)}$ и ${ Displaystyle forall x forall y (Fx land xRy to Fy)}$ , очевидно удовлетворены; следовательно, ${ displaystyle Fb}$ , что значит ${ displaystyle aR ^ {+} b}$ , по нашему выбору ${ displaystyle F}$ ). См. Также книгу Булоса ниже, стр. 8.

Обсуждение

Principia Mathematica неоднократно использовали предков, как и Куайн (1951) Математическая логика.

Однако стоит отметить, что родственные отношения не могут быть определены в логика первого порядка. Это спорный ли логика второго порядка со стандартной семантикой действительно вообще "логика". Куайн, как известно, утверждал, что это на самом деле «теория множеств в овечьей шкуре». В своих книгах, описывающих формальные системы, связанные с PM и способные моделировать значительную часть математики, а именно - и в порядке публикации - «Система логистики», «Математическая логика» и «Теория множеств и ее логика», окончательный взгляд Куайна Что касается надлежащего разделения между логическими и внелогическими системами, кажется, что как только к системе добавляются аксиомы, позволяющие возникать феноменам неполноты, система перестает быть чисто логической.

Смотрите также

внешняя ссылка

Стэнфордская энциклопедия философии: "Логика, теорема и основы арифметики Фреге " -- к Эдуард Н. Залта. Раздел 4.2.