Ангармонизм - Википедия - Anharmonicity

Потенциальная энергия двухатомной молекулы в зависимости от атомный интервал. Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающая сила назад к ты₀. (Представьте себе шарик, катящийся взад и вперед по впадине.) Синяя кривая по форме близка к реальной молекуле. потенциальная яма, а красный парабола является хорошим приближением для малых колебаний. В красном приближении молекула рассматривается как гармонический осциллятор, так как возвращающая сила -V '(и), является линейный с уважением к смещение ты.

В классическая механика, ангармонизм это отклонение из система от того, чтобы быть гармонический осциллятор. An осциллятор который не колеблется в гармоническое движение известен как ангармонический осциллятор, где система может быть аппроксимирована гармоническим осциллятором, а ангармонизм может быть вычислен с использованием теория возмущений. Если ангармонизм большой, то другие численные методы должны быть использованы.

В результате колебания с частоты ${ displaystyle 2 omega}$ и ${ displaystyle 3 omega}$ и т. д., где ${ displaystyle omega}$ это основная частота осциллятора. Кроме того, частота ${ displaystyle omega}$ отклоняется от частоты ${ displaystyle omega _ {0}}$ гармонических колебаний. В первом приближении частотный сдвиг ${ displaystyle Delta omega = omega - omega _ {0}}$ пропорциональна квадрату колебания амплитуда ${ displaystyle A}$ :

{ displaystyle Delta omega propto A ^ {2}}

В системе осцилляторов с собственные частоты ${ displaystyle omega _ { alpha}}$ , ${ displaystyle omega _ { beta}}$ , ... ангармонизм приводит к дополнительным колебаниям с частотами ${ displaystyle omega _ { alpha} pm omega _ { beta}}$ .

Ангармонизм также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, что приводит к интересным явления такой как эффект складывания и супергармоника резонанс.

Основной принцип

2 DOF упругий маятник с ангармоническим поведением.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

«Блок на пружине» - классический пример гармонических колебаний. В зависимости от расположения блока, Икс, он будет испытывать возвращающую силу к середине. Возвратная сила пропорциональна x, поэтому система демонстрирует простое гармоническое движение.

Маятник - это простой ангармонический осциллятор. В зависимости от углового положения груза θ, восстанавливающая сила сдвигает координату θ назад к середине. Этот осциллятор ангармонический, потому что возвращающая сила не пропорциональна θ, но грех (θ). Поскольку линейная функция у = θ аппроксимирует нелинейную функцию у = грех (θ) когда θ мала, система может быть смоделированный как гармонический осциллятор для малых колебаний.

Осциллятор - это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, например маятник, камертон или вибрация. двухатомная молекула. С математической точки зрения существенной особенностью осциллятора является то, что для некоторой координаты Икс системы, сила, величина которой зависит от Икс подтолкнет Икс от крайних значений и обратно к некоему центральному значению Икс₀, вызывая Икс колебаться между крайностями. Например, Икс может представлять смещение маятника из положения покоя х = 0. Как абсолютное значение Икс увеличивается, так же как и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, который толкает его обратно в положение покоя.

В гармонических осцилляторах возвращающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению Икс с его естественного положения Икс₀. Из полученного дифференциального уравнения следует, что Икс должен колебаться синусоидально с течением времени с периодом колебаний, который присущ системе. Икс может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период.

Однако для ангармонических осцилляторов характерна нелинейная зависимость восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота колебаний может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения в частоте вибрации приводят к передаче энергии от основной частоты вибрации к другим частотам посредством процесса, известного как параметрическая связь.^{[требуется разъяснение ]}

Рассмотрение нелинейной восстанавливающей силы как функции F (х-х₀) смещения x из его естественного положения, мы можем заменить F своим линейным приближением F₁=F '(0) * (х-х₀) при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция F₁ линейна, поэтому описывает простое гармоническое движение. Далее эта функция F₁ точно, когда х-х₀ маленький. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое, пока колебания малы.

Примеры в физике

В физическом мире существует множество систем, которые можно моделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, который состоит из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля зависимость поле-дипольный момент становится нелинейной, как и в механической системе.

Дополнительные примеры ангармонических осцилляторов включают в себя маятник с большим углом; неравновесные полупроводники с большой популяцией горячих носителей, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанных с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармоничности плазмы. Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.

Ангармонизм играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях,^[1] И в акустика. Атомы в молекуле или твердом теле колеблются около своего положения равновесия. Когда эти колебания имеют малую амплитуду, их можно описать как гармонические осцилляторы. Однако, когда амплитуды колебаний велики, например при высоких температурах, ангармонизм становится важным. Примером эффектов ангармонизма является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в квазигармоническое приближение. Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является сложной вычислительной задачей, потому что ангармонизм не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но также вводит связь между осцилляторами. Можно использовать основные методы, такие как теория функционала плотности для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами в обеих молекулах^[2] и твердые тела.^[3] Точные энергии ангармонических колебаний могут быть затем получены путем решения уравнений ангармонических колебаний для атомов внутри теория среднего поля. Наконец, можно использовать Теория возмущений Меллера – Плессе. выйти за рамки формализма среднего поля.

Потенциальная энергия от периода колебаний

Рассмотрим потенциальную яму ${ Displaystyle U (х)}$ .Предполагая, что кривая ${ Displaystyle U = U (х)}$ симметрично относительно ${ displaystyle U}$ -оси форму кривой можно неявно определить по периоду ${ Displaystyle T (E)}$ колебаний частиц с энергией ${ displaystyle E}$ в соответствии с формулой:^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle U (x) = { frac {1} {2 pi { sqrt {2m}}}} int _ {0} ^ {U} { frac {T (E) , dE} { sqrt {U (x) -E}}}}

.

И наоборот, период колебаний может быть получен ^[4]

{ displaystyle T = { sqrt {2m}} int _ {x _ {-}} ^ {x _ {+}} { frac {dx} { sqrt {E-U}}}}

Смотрите также

внешняя ссылка

Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет, заархивировано из оригинал 13 июня 2011 г., получено 28 октября, 2010

[1] Lim, Kieran F .; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармонизма на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице», J. Chem. Educ., 82 (8): 1263, Bibcode:2005JChEd..82.1263F, Дои:10.1021 / ed082p1263.1

[2] Jung, J. O .; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H₂O)_п, п= 2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с поправками на корреляцию », J. Chem. Phys., 105 (23): 10332, Bibcode:1996JChPh.10510332J, Дои:10.1063/1.472960

[3] Монсеррат, Б .; Drummond, N.D .; Потребности, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжения», Phys. Ред. B, 87 (14): 144302, arXiv:1303.0745, Bibcode:2013ПхРвБ..87н4302М, Дои:10.1103 / PhysRevB.87.144302

[4] Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики. 26 (4): 589–601. arXiv:math-ph / 0409034. Дои:10.1088/0143-0807/26/4/004.

[1]

[2]

[3]

[4]