Четверки Архимеда - Википедия - Archimedes quadruplets

Каждая из четверок Архимеда (зеленая) имеет одинаковую площадь относительно друг друга и двойных кругов Архимеда.

В геометрия, Четверки Архимеда четыре конгруэнтный круги связанный с арбелос. Представленные Фрэнком Пауэром летом 1998 года, все они имеют одинаковые площадь в качестве Двойные круги архимеда, делать их Архимедовы круги.^[1][2][3]

Строительство

Арбелос состоит из трех коллинеарных точек. А, B, и C, тремя полукруги с диаметры AB, AC, и до н.э. Пусть два меньших круга имеют радиусы р₁ и р₂, из чего следует, что больший полукруг имеет радиус р = р₁+р₂. Пусть точки D и E быть центр и середина соответственно полукруга радиусом р₁. Позволять ЧАС быть серединой линии AC. Тогда две из четырех окружностей четверки касаются прямой ОН в момент E, а также касаются внешнего полукруга. Две другие четверные окружности образованы симметрично от полукруга радиусом р₂.

Доказательство соответствия

Согласно предложению 5 Архимед ' Книга лемм, общее радиус двойных кругов Архимеда это:

${ displaystyle { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r}}.}$

Посредством теорема Пифагора:

${ displaystyle left (HE right) ^ {2} = left (r_ {1} right) ^ {2} + left (r_ {2} right) ^ {2}.}$

Затем создайте два круга с центрами J_я перпендикуляр к ОН, касательная к большому полукругу в точке L_я, касательная к точке E, и с равными радиусами Икс. С использованием теорема Пифагора:

${ displaystyle left (HJ_ {i} right) ^ {2} = left (HE right) ^ {2} + x ^ {2} = left (r_ {1} right) ^ {2} + влево (г_ {2} вправо) ^ {2} + x ^ {2}}$

Также:

${ displaystyle HJ_ {i} = HL_ {i} -x = r-x = r_ {1} + r_ {2} -x ~}$

Их сочетание дает:

${ displaystyle left (r_ {1} right) ^ {2} + left (r_ {2} right) ^ {2} + x ^ {2} = left (r_ {1} + r_ {2) } -x right) ^ {2}}$

Расширение, сбор в одну сторону и факторинг:

${ displaystyle 2r_ {1} r_ {2} -2x left (r_ {1} + r_ {2} right) = 0}$

Решение для Икс:

${ displaystyle x = { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}} = { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r }}}$

Доказательство того, что каждая из «четверок» Архимеда равна каждой из «двойных кругов» Архимеда.^[4]

Рекомендации

Больше чтения

• Арбелос: Книга лемм, Цепочка Паппа, Архимедов круг, Четверки Архимеда, Двойные круги Архимеда, Круг Банкоффа, С. ISBN  1156885493