Аппроксимационная теорема Артина - Artin approximation theorem

В математика, то Аппроксимационная теорема Артина является фундаментальным результатом Майкл Артин (1969 ) в теория деформации откуда следует, что формальный степенной ряд с коэффициентами в поле k хорошо аппроксимируются алгебраические функции на k.

Точнее, Артин доказал две такие теоремы: одну, в 1968 г., о приближении комплексных аналитических решений формальными решениями (в случае ${ Displaystyle к = mathbb {C}}$ ); и алгебраическая версия этой теоремы 1969 г.

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle mathbf {x} = x_ {1}, dots, x_ {n}}$ обозначают набор п неопределенный, ${ Displaystyle к [[ mathbf {x}]]}$ то звенеть формальных степенных рядов с неопределенными ${ displaystyle mathbf {x}}$ над полем k, и ${ displaystyle mathbf {y} = y_ {1}, dots, y_ {n}}$ другой набор неопределенностей. Позволять

{ Displaystyle е ( mathbf {x}, mathbf {y}) = 0}

быть системой полиномиальные уравнения в ${ Displaystyle к [ mathbf {x}, mathbf {y}]}$ , и c положительный целое число. Затем дано решение формального степенного ряда ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {y}}} ( mathbf {x}) в к [[ mathbf {x}]]}$ , существует алгебраическое решение ${ Displaystyle mathbf {y} ( mathbf {x})}$ состоящий из алгебраические функции (точнее, алгебраический степенной ряд) такой, что

{ Displaystyle { шляпа { mathbf {y}}} ( mathbf {x}) Equiv mathbf {y} ( mathbf {x}) { bmod {(}} mathbf {x}) ^ { c}.}

Обсуждение

Для любого желаемого положительного целого числа c, эта теорема показывает, что можно найти алгебраическое решение, приближающее решение формального степенного ряда до степени, заданной формулой c. Это приводит к теоремам, которые выводят существование определенных формальные пространства модулей деформаций как схемы. Смотрите также: Критерий Артина.

Альтернативное заявление

Следующее альтернативное утверждение дано в теореме 1.12. Майкл Артин (1969 ).

Позволять ${ displaystyle R}$ поле или отличное дискретное оценочное кольцо, пусть ${ displaystyle A}$ быть генселизация из ${ displaystyle R}$ -алгебра конечного типа на простом идеале, пусть м быть настоящим идеалом ${ displaystyle A}$ , позволять ${ displaystyle { hat {A}}}$ быть м-адическое завершение ${ displaystyle A}$ , и разреши

{ displaystyle F двоеточие (A { text {-algebras}}) to ({ text {sets}}),}

- функтор, отправляющий фильтрованные копределы фильтрованным копределам (Артин называет такой функтор локально конечного представления). Тогда для любого целого c и любой ${ displaystyle { overline { xi}} in F ({ hat {A}})}$ , Существует ${ Displaystyle xi in F (A)}$ такой, что

{ Displaystyle { overline { xi}} Equiv xi { bmod {m}} ^ {c}}

.

Аппроксимационная теорема Артина - Artin approximation theorem

Содержание

Формулировка теоремы

Обсуждение

Альтернативное заявление

Смотрите также

Рекомендации