Aurifeuillean факторизация - Aurifeuillean factorization

В теория чисел, авериллева факторизация, или же аврифейлианская факторизация, названный в честь Леон-Франсуа-Антуан Орифей, особый вид алгебраический факторизация что происходит из нетривиальных факторизаций круговые полиномы над целые числа.^[1] Хотя сами циклотомические многочлены несводимый над целыми числами, когда они ограничены конкретными целочисленными значениями, они могут иметь алгебраическую факторизацию, как в примерах ниже.

Примеры

Числа формы ${displaystyle a ^ {4} + 4b ^ {4}}$ имеют следующую внебольничную факторизацию:

{displaystyle a ^ {4} + 4b ^ {4} = (a ^ {2} -2ab + 2b ^ {2}) cdot (a ^ {2} + 2ab + 2b ^ {2})}

Параметр ${displaystyle a = 1}$ и ${displaystyle b = 2 ^ {k}}$ , получаем следующую аврифейлевую факторизацию ${displaystyle 2 ^ {4k + 2} +1}$ :^[2]

{displaystyle 2 ^ {4k + 2} + 1 = (2 ^ {2k + 1} -2 ^ {k + 1} +1) cdot (2 ^ {2k + 1} + 2 ^ {k + 1} +1 )}

Числа формы ${displaystyle b ^ {n} -1}$ $Ь ^ {п} -1$ или же ${displaystyle Phi _ {n} (b)}$ $Фи _ {n} (б)$ , куда ${displaystyle b = s ^ {2} cdot t}$ ${displaystyle b = s ^ {2} cdot t}$ с без квадратов ${displaystyle t}$ $т$ , имеют внебольничную факторизацию тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
- ${displaystyle tequiv 1 {pmod {4}}}$ и ${displaystyle nequiv t {pmod {2t}}}$
- ${displaystyle tequiv 2,3 {pmod {4}}}$ и ${displaystyle nequiv 2t {pmod {4t}}}$

Таким образом, когда

{displaystyle b = s ^ {2} cdot t}

с без квадратов

{displaystyle t}

, и

{displaystyle n}

является конгруэнтный к

{displaystyle t}

по модулю

{displaystyle 2t}

, то если

{displaystyle t}

является конгруэнтный до 1 мод 4,

{displaystyle b ^ {n} -1}

иметь внебольничную факторизацию, иначе

{displaystyle b ^ {n} +1}

имеют внебрачную факторизацию.

Когда число имеет определенную форму (точное выражение зависит от основания), может использоваться факторизация Орифейля, которая дает произведение двух или трех чисел. Следующие уравнения дают множители Орифейля для Каннингем проект базы как продукт F, L и M:^[3]

Если мы позволим L = C − D, M = C + D, факторизации Орифейля для б^п ± 1 формы F * (C − D) * (C + D) = F * L * M с основаниями 2 ≤ б ≤ 24 (совершенные силы исключено, так как мощность б^п также сила б) находятся:

(коэффициенты полиномов для всех оснований без квадратов до 199 и до 998 см. ^[4]^[5]^[6])

б	Число	(C − D) * (C + D) = L * M	F	C	D
2	2^{4k + 2} + 1	${displaystyle Phi _ {4} (2 ^ {2k + 1})}$	1	2^{2k + 1} + 1	2^{k + 1}
3	3^{6k + 3} + 1	${displaystyle Phi _ {6} (3 ^ {2k + 1})}$	3^{2k + 1} + 1	3^{2k + 1} + 1	3^{k + 1}
5	5^{10k + 5} - 1	${displaystyle Phi _ {5} (5 ^ {2k + 1})}$	5^{2k + 1} - 1	5^{4k + 2} + 3(5^{2k + 1}) + 1	5^{3k + 2} + 5^{k + 1}
6	6^{12k + 6} + 1	${displaystyle Phi _ {12} (6 ^ {2k + 1})}$	6^{4k + 2} + 1	6^{4k + 2} + 3(6^{2k + 1}) + 1	6^{3k + 2} + 6^{k + 1}
7	7^{14k + 7} + 1	${displaystyle Phi _ {14} (7 ^ {2k + 1})}$	7^{2k + 1} + 1	7^{6k + 3} + 3(7^{4k + 2}) + 3(7^{2k + 1}) + 1	7^{5k + 3} + 7^{3k + 2} + 7^{k + 1}
10	10^{20k + 10} + 1	${displaystyle Phi _ {20} (10 ^ {2k + 1})}$	10^{4k + 2} + 1	10^{8k + 4} + 5(10^{6k + 3}) + 7(10^{4k + 2}) + 5(10^{2k + 1}) + 1	10^{7k + 4} + 2(10^{5k + 3}) + 2(10^{3k + 2}) + 10^{k + 1}
11	11^{22k + 11} + 1	${displaystyle Phi _ {22} (11 ^ {2k + 1})}$	11^{2k + 1} + 1	11^{10k + 5} + 5(11^{8k + 4}) - 11^{6k + 3} - 11^{4k + 2} + 5(11^{2k + 1}) + 1	11^{9k + 5} + 11^{7k + 4} - 11^{5k + 3} + 11^{3k + 2} + 11^{k + 1}
12	12^{6k + 3} + 1	${displaystyle Phi _ {6} (12 ^ {2k + 1})}$	12^{2k + 1} + 1	12^{2k + 1} + 1	6(12^k)
13	13^{26k + 13} - 1	${displaystyle Phi _ {13} (13 ^ {2k + 1})}$	13^{2k + 1} - 1	13^{12k + 6} + 7(13^{10k + 5}) + 15(13^{8k + 4}) + 19(13^{6k + 3}) + 15(13^{4k + 2}) + 7(13^{2k + 1}) + 1	13^{11k + 6} + 3(13^{9k + 5}) + 5(13^{7k + 4}) + 5(13^{5k + 3}) + 3(13^{3k + 2}) + 13^{k + 1}
14	14^{28k + 14} + 1	${displaystyle Phi _ {28} (14 ^ {2k + 1})}$	14^{4k + 2} + 1	14^{12k + 6} + 7(14^{10k + 5}) + 3(14^{8k + 4}) - 7(14^{6k + 3}) + 3(14^{4k + 2}) + 7(14^{2k + 1}) + 1	14^{11k + 6} + 2(14^{9k + 5}) - 14^{7k + 4} - 14^{5k + 3} + 2(14^{3k + 2}) + 14^{k + 1}
15	15^{30k + 15} + 1	${displaystyle Phi _ {30} (15 ^ {2k + 1})}$	15^{14k + 7} - 15^{12k + 6} + 15^{10k + 5} + 15^{4k + 2} - 15^{2k + 1} + 1	15^{8k + 4} + 8(15^{6k + 3}) + 13(15^{4k + 2}) + 8(15^{2k + 1}) + 1	15^{7k + 4} + 3(15^{5k + 3}) + 3(15^{3k + 2}) + 15^{k + 1}
17	17^{34k + 17} - 1	${displaystyle Phi _ {17} (17 ^ {2k + 1})}$	17^{2k + 1} - 1	17^{16k + 8} + 9(17^{14k + 7}) + 11(17^{12k + 6}) - 5(17^{10k + 5}) - 15(17^{8k + 4}) - 5(17^{6k + 3}) + 11(17^{4k + 2}) + 9(17^{2k + 1}) + 1	17^{15k + 8} + 3(17^{13k + 7}) + 17^{11k + 6} - 3(17^{9k + 5}) - 3(17^{7k + 4}) + 17^{5k + 3} + 3(17^{3k + 2}) + 17^{k + 1}
18	18^{4k + 2} + 1	${displaystyle Phi _ {4} (18 ^ {2k + 1})}$	1	18^{2k + 1} + 1	6(18^k)
19	19^{38k + 19} + 1	${displaystyle Phi _ {38} (19 ^ {2k + 1})}$	19^{2k + 1} + 1	19^{18k + 9} + 9(19^{16k + 8}) + 17(19^{14k + 7}) + 27(19^{12k + 6}) + 31(19^{10k + 5}) + 31(19^{8k + 4}) + 27(19^{6k + 3}) + 17(19^{4k + 2}) + 9(19^{2k + 1}) + 1	19^{17k + 9} + 3(19^{15k + 8}) + 5(19^{13k + 7}) + 7(19^{11k + 6}) + 7(19^{9k + 5}) + 7(19^{7k + 4}) + 5(19^{5k + 3}) + 3(19^{3k + 2}) + 19^{k + 1}
20	20^{10k + 5} - 1	${displaystyle Phi _ {5} (20 ^ {2k + 1})}$	20^{2k + 1} - 1	20^{4k + 2} + 3(20^{2k + 1}) + 1	10(20^{3k + 1}) + 10(20^k)
21	21^{42k + 21} - 1	${displaystyle Phi _ {21} (21 ^ {2k + 1})}$	21^{18k + 9} + 21^{16k + 8} + 21^{14k + 7} - 21^{4k + 2} - 21^{2k + 1} - 1	21^{12k + 6} + 10(21^{10k + 5}) + 13(21^{8k + 4}) + 7(21^{6k + 3}) + 13(21^{4k + 2}) + 10(21^{2k + 1}) + 1	21^{11k + 6} + 3(21^{9k + 5}) + 2(21^{7k + 4}) + 2(21^{5k + 3}) + 3(21^{3k + 2}) + 21^{k + 1}
22	22^{44k + 22} + 1	${displaystyle Phi _ {44} (22 ^ {2k + 1})}$	22^{4k + 2} + 1	22^{20k + 10} + 11(22^{18k + 9}) + 27(22^{16k + 8}) + 33(22^{14k + 7}) + 21(22^{12k + 6}) + 11(22^{10k + 5}) + 21(22^{8k + 4}) + 33(22^{6k + 3}) + 27(22^{4k + 2}) + 11(22^{2k + 1}) + 1	22^{19k + 10} + 4(22^{17k + 9}) + 7(22^{15k + 8}) + 6(22^{13k + 7}) + 3(22^{11k + 6}) + 3(22^{9k + 5}) + 6(22^{7k + 4}) + 7(22^{5k + 3}) + 4(22^{3k + 2}) + 22^{k + 1}
23	23^{46k + 23} + 1	${displaystyle Phi _ {46} (23 ^ {2k + 1})}$	23^{2k + 1} + 1	23^{22k + 11} + 11(23^{20k + 10}) + 9(23^{18k + 9}) - 19(23^{16k + 8}) - 15(23^{14k + 7}) + 25(23^{12k + 6}) + 25(23^{10k + 5}) - 15(23^{8k + 4}) - 19(23^{6k + 3}) + 9(23^{4k + 2}) + 11(23^{2k + 1}) + 1	23^{21k + 11} + 3(23^{19k + 10}) - 23^{17k + 9} - 5(23^{15k + 8}) + 23^{13k + 7} + 7(23^{11k + 6}) + 23^{9k + 5} - 5(23^{7k + 4}) - 23^{5k + 3} + 3(23^{3k + 2}) + 23^{k + 1}
24	24^{12k + 6} + 1	${displaystyle Phi _ {12} (24 ^ {2k + 1})}$	24^{4k + 2} + 1	24^{4k + 2} + 3(24^{2k + 1}) + 1	12(24^{3k + 1}) + 12(24^k)

Числа Лукаса ${displaystyle L_ {10k + 5}}$ имеют следующую внебольничную факторизацию:^[7]

{displaystyle L_ {10k + 5} = L_ {2k + 1} cdot (5 {F_ {2k + 1}} ^ {2} -5F_ {2k + 1} +1) cdot (5 {F_ {2k + 1}) } ^ {2} + 5F_ {2k + 1} +1)}

куда

{displaystyle L_ {n}}

это

{displaystyle n}

й номер Лукаса,

{displaystyle F_ {n}}

это

{displaystyle n}

th Число Фибоначчи.

История

До открытия факторизаций Орифейля Ландри [fr; es; де ]огромными ручными усилиями,^[8]^[9] получили следующую факторизацию на простые числа:

{displaystyle 2 ^ {58} + 1 = 5cdot 107367629cdot 536903681.}

Затем в 1871 г. Aurifeuille открыл природу этой факторизации; номер ${displaystyle 2 ^ {4k + 2} +1}$ за ${displaystyle k = 14}$ , используя формулу из предыдущего раздела, множители как:^[2]^[8]

{displaystyle 2 ^ {58} + 1 = (2 ^ {29} -2 ^ {15} +1) (2 ^ {29} + 2 ^ {15} +1) = 536838145cdot 536903681.}

Конечно, из этого следует полная факторизация Ландри (без очевидного множителя 5). Общая форма факторизации была позже открыта Лукас.^[2]

536903681 - это пример Гауссовский Мерсенн норма.^[9]

внешняя ссылка

Аурифейлианская факторизация, Колин Баркер
Сбор факторов онлайн

[1] А. Гранвиль, П. Плезантс (2006). «Аурифейлианская факторизация» (PDF). Математика. Comp. 75 (253): 497–508. Дои:10.1090 / S0025-5718-05-01766-7.

[Wolfram-2] а ^б ^c Вайсштейн, Эрик В. «Золотая факторизация». MathWorld.

[3] "Основные столы Каннингема". В конце таблиц 2LM, 3+, 5-, 6+, 7+, 10+, 11+ и 12+ приведены формулы, детализирующие факторизации Орифейлиана.

[4] Список Aurifeuillean факторизации циклотомических чисел (свободные от квадратов основания до 199)

[5] Коэффициенты многочленов Люка C, D для всех оснований без квадратов до 199

[6] Коэффициенты многочленов Люка C, D для всех оснований без квадратов до 998

[7] Лукас Орифейли, примитивная часть

[numericana-8] а ^б Целочисленная арифметика, теория чисел - факторизации Аурифейля, Numericana

[primepages-9] а ^б Гауссовский Мерсенн, то Prime Pages глоссарий

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Aurifeuillean факторизация - Aurifeuillean factorization

Содержание

Примеры

История

Рекомендации

внешняя ссылка