Мера Бэра - Baire measure

В математике Мера Бэра это мера на σ-алгебра из Наборы Baire из топологическое пространство значение которого на каждом компакте Бэра конечно. В компактном метрические пространства то Наборы Бореля и Наборы Baire одинаковы, поэтому меры Бэра такие же, как Борелевские меры которые конечны на компактные наборы. В общем случае множества Бэра и борелевские множества не обязательно должны совпадать. В пространствах с небэровскими борелевскими множествами меры Бэра используются, потому что они связаны со свойствами непрерывные функции более прямо.

Вариации

Есть несколько неэквивалентных определений Наборы Baire, поэтому, соответственно, существует несколько неэквивалентных понятий меры Бэра на топологическом пространстве. Все они совпадают на пространствах, локально компактных. σ-компактный Хаусдорфовы пространства.

Связь с мерой Бореля

На практике меры Бэра можно заменить на регулярные борелевские меры. Связь между мерами Бэра и регулярными мерами Бореля заключается в следующем:

• Ограничение конечной борелевской меры на множества Бэра является мерой Бэра.
• Конечная мера Бэра на компактном пространстве всегда регулярна.
• Конечная мера Бэра на компактном пространстве - это ограничение единственной регулярной борелевской меры.
• На компактных (или σ-компактных) метрических пространствах борелевские множества такие же, как множества Бэра, и меры Бореля такие же, как меры Бэра.

Примеры

• Счетная мера на единичный интервал - мера на множествах Бэра, которая не является регулярной (или σ-конечной).
• (Слева или справа) Мера Хаара на локально компактная группа является мерой Бэра, инвариантной относительно левого (правого) действия группы на себя. В частности, если группа абелева группа, левая и правая меры Хаара совпадают, и мы говорим, что мера Хаара инвариант перевода. Смотрите также Понтрягинская двойственность.

Рекомендации

• Леонард Гиллман и Мейер Джерисон, Кольца непрерывных функций, Springer Verlag # 43, 1960.