Набор Бэра - Baire set

Для множеств, обладающих свойством Бэра, которые иногда называют множествами Бэра, см. Собственность Бэра.

В математика, более конкретно в теория меры, то Наборы Baire сформировать σ-алгебра из топологическое пространство что позволяет избежать некоторых патологических свойств Наборы Бореля.

Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бэра, но наиболее широко используются множества Бэра. локально компактный Пространство Хаусдорфа образуют наименьшую σ-алгебру такую, что все компактно поддерживается непрерывные функции измеримый. Таким образом, меры, определенные на этой σ-алгебре, называемые Меры Бэра, представляют собой удобный каркас для интегрирования на локально компактных хаусдорфовых пространствах. В частности, любая непрерывная функция с компактным носителем на таком пространстве интегрируема относительно любой конечной меры Бэра.

Каждый набор Бэра - это Набор Бореля. Обратное верно во многих, но не во всех топологических пространствах. Множества Бэра избегают некоторых патологических свойств борелевских множеств на пространствах без счетной базы для топологии. На практике использование мер Бэра на множествах Бэра часто может быть заменено использованием обычный Борелевские меры на борелевских множествах.

Наборы Baire были представлены Кунихико Кодайрой (1941, Определение 4), Шизуо Какутани и Кунихико Кодайра (1944 ) и Халмос (1950, стр. 220), который назвал их в честь Функции Бэра, которые, в свою очередь, названы в честь Рене-Луи Бэр.

Основные определения

Существует по крайней мере три неэквивалентных определения множеств Бэра на локально компактных хаусдорфовых пространствах и еще больше определений для общих топологических пространств, хотя все эти определения эквивалентны для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств. Более того, некоторые авторы добавляют ограничения на топологическое пространство, на котором определены бэровские множества, и определяют бэровские множества только на пространствах, которые являются компактными по Хаусдорфу, локально компактными по Хаусдорфу или σ-компактными.

Первое определение

Кунихико Кодайра определенный [1] то, что мы называем множествами Бэра (хотя он смутно называет их «борелевскими множествами») некоторых топологических пространств, чтобы быть множествами, характеристическая функция которых является функцией Бэра (наименьший класс функций, содержащий все непрерывные вещественнозначные функции и замкнутый относительно поточечных границ ).Дадли (1989), Разд. 7.1) дает эквивалентное определение и определяет бэровские множества топологического пространства как элементы наименьшей σ-алгебры такие, что все непрерывные функции измеримы. Для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств это эквивалентно следующим определениям, но в общем случае определения не эквивалентны.

Наоборот, функции Бэра - это в точности действительные функции, измеримые по Бэру. Для метрических пространств множества Бэра такие же, как множества Бореля.

Второе определение

Халмос (1950, стр. 220) определили множества Бэра локально компактного хаусдорфова пространства как элементы σ-кольцо порожденный компактом граммδ наборы. Это определение больше не используется, поскольку σ-кольца несколько вышли из моды. Когда пространство σ-компактно, это определение эквивалентно следующему определению.

Одна из причин для работы с компактным граммδ наборы, а не закрытые граммδ множеств состоит в том, что тогда меры Бэра автоматически регулярны (Халмос 1950, теорема G стр. 228).

Третье определение

Третье и наиболее широко используемое определение похоже на определение Халмоша, модифицированное таким образом, что множества Бэра образуют σ-алгебру, а не просто σ-кольцо.

Подмножество локально компактный Хаусдорф топологическое пространство называется Набор Бэра если это член наименьшего σ – алгебра содержащий все компактный граммδ наборы. Другими словами, σ – алгебра множеств Бэра - это σ – алгебра генерируется всеми компактными граммδ наборы. В качестве альтернативы множества Бэра образуют наименьшую σ-алгебру такую, что все непрерывные функции с компактным носителем измеримы (по крайней мере, на локально компактных хаусдорфовых пространствах: на общих топологических пространствах эти два условия могут не быть эквивалентными).

Для σ-компактных пространств это эквивалентно определению Халмоша. Для пространств, которые не являются σ-компактными, множества Бэра под этим определением - это множества под определением Халмоша вместе с их дополнениями. Однако в этом случае уже неверно, что конечная мера Бэра обязательно регулярна: например, вероятностная мера Бэра, которая присваивает меру 0 каждому счетному подмножеству несчетного дискретного пространства и меру 1 каждому счетному подмножеству, является мерой Бэра. вероятностная мера, которая не является регулярной.

Примеры

Различные определения множеств Бэра не эквивалентны

Для локально компактных хаусдорфовых топологических пространств, которые не являются σ-компактными, три приведенных выше определения не обязательно должны быть эквивалентными:

А дискретное топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово. Любая функция, определенная на дискретном пространстве, непрерывна, и поэтому, согласно первому определению, все подмножества дискретного пространства являются бэровскими. Однако, поскольку компактные подпространства дискретного пространства - это в точности конечные подпространства, множества Бэра, согласно второму определению, являются в точности самое большое количество множества, тогда как согласно третьему определению множества Бэра - это не более чем счетные множества и их дополнения. Таким образом, эти три определения не эквивалентны на несчетном дискретном пространстве.

Для нехаусдорфовых пространств определения множеств Бэра в терминах непрерывных функций не обязательно должны быть эквивалентными определениям, включающим граммδ компакты. Например, если Икс является бесконечным счетным множеством, замкнутыми множествами которого являются конечные множества и все пространство, то единственными непрерывными действительными функциями на Икс постоянны, но все подмножества Икс входят в σ-алгебру, порожденную компактными замкнутыми граммδ наборы.

Множество Бореля, не являющееся множеством Бэра

В декартовом произведении бесчисленного множества компактный Хаусдорфовы пространства с более чем одной точкой точка никогда не является множеством Бэра, несмотря на то, что она замкнута, и, следовательно, множеством Бореля.[2]

Характеристики

Множества Бэра совпадают с множествами Бореля в Евклидовы пространства.

Для любого компактного хаусдорфова пространства каждая конечная мера Бэра (т. Е. Мера на σ-алгебре всех множеств Бэра) является обычный.[3]

Для любого компактного хаусдорфова пространства каждая конечная мера Бэра имеет единственное расширение до регулярной меры Бореля.[4]

В Колмогорова теорема о продолжении утверждает, что каждый непротиворечивый набор конечномерных распределений вероятностей приводит к мере Бэра на пространстве функций.[5] Предполагая компактность (данного пространства и поэтому также функциональное пространство ) его можно продолжить до регулярной борелевской меры. После завершение получается вероятностное пространство, которое не обязательно стандарт.[6]

Примечания

  1. ^ Кодаира 1941, п. 21, Def. 4
  2. ^ Дадли 1989, Пример после теоремы 7.1.1
  3. ^ Дадли 1989, Теорема 7.1.5
  4. ^ Дадли 1989, Теорема 7.3.1
  5. ^ Дадли 1989, Теорема 12.1.2
  6. ^ Его стандартность исследуется:Цирельсон Борис (1981). «Естественная модификация случайного процесса и ее применение к стохастическим функциональным рядам и гауссовским мерам». Журнал советской математики. 16 (2): 940–956. Дои:10.1007 / BF01676139.CS1 maint: ref = harv (связь). См. Теорему 1 (c).

Рекомендации