Функция Бэра - Baire function

В математика, Функции Бэра находятся функции получен из непрерывные функции трансфинитной итерацией операции формирования поточечных пределов последовательностей функций. Их представил Рене-Луи Бэр в 1899 г. А Набор Бэра это набор, характеристическая функция является функцией Бэра. (Есть и другие, почти эквивалентные, но неэквивалентные определения множеств Бэра.)

Классификация функций Бэра

Функции Бэра класса α для любых счетных порядковый номер α, образуют векторное пространство из настоящий -значные функции, определенные на топологическое пространство, следующее.

Функции Бэра класса 0 являются непрерывные функции.
Функции Бэра класса 1 - это те функции, которые являются поточечный предел из последовательность функций класса 0 Бэра.
В общем, все функции класса Бэра α - это все функции, которые являются поточечным пределом последовательности функций класса Бэра, меньшего, чем α.

Некоторые авторы определяют классы несколько иначе, удаляя все функции класса меньше α из функций класса α. Это означает, что каждая функция Бэра имеет четко определенный класс, но функции данного класса больше не образуют векторное пространство.

Анри Лебег доказал, что (для функций на единичный интервал ) каждый класс Бэра счетного порядкового числа содержит функции, не принадлежащие ни к какому меньшему классу, и что существуют функции, которые не принадлежат ни к одному классу Бэра.

Бэр класс 1

Примеры:

В производная любой дифференцируемая функция имеет класс 1. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной (при Икс = 0) - функция, равная ${displaystyle x ^ {2} sin (1 / x)}$ когда Икс ≠ 0 и 0, когда Икс = 0. Бесконечная сумма одинаковых функций (масштабированных и смещенных на рациональное число ) может даже дать дифференцируемую функцию, производная которой разрывна на плотном множестве. Однако он обязательно имеет точки непрерывности, что легко следует из характеризационной теоремы Бэра (ниже; K = Икс = р).
Характеристическая функция множества целые числа, что равно 1, если Икс является целым числом и 0 в противном случае. (Бесконечное количество крупных разрывов.)
Функция Тома, который равен 0 для иррациональный Икс и 1 /q для рационального числа п/q (в сокращенном виде). (Плотное множество разрывов, а именно множество рациональных чисел.)
Характеристическая функция Кантор набор, что равно 1, если Икс находится в канторовом множестве и 0 в противном случае. Эта функция равна 0 для несчетного набора Икс значения и 1 для бесчисленного множества. Он является разрывным, когда он равен 1, и непрерывным, когда он равен 0. Он аппроксимируется непрерывными функциями. ${displaystyle g_ {n} (x) = max (0, {1-ая (x, C)})}$ , куда ${displaystyle d (x, C)}$ расстояние x от ближайшей точки в множестве Кантора.

Характеризационная теорема Бэра утверждает, что вещественная функция ж определено на Банахово пространство Икс является функцией Бэра-1 тогда и только тогда, когда для каждого непустой закрыто подмножество K из Икс, то ограничение из ж к K имеет точку непрерывности по отношению к топология из K.

По другой теореме Бэра для любой функции Бэра-1 точки непрерывности являются пришелец грамм_δ набор (Кечрис 1995, Теорема (24.14)).

Бэр класс 2

Примером функции Бэра класса 2 на интервале [0,1], которая не принадлежит классу 1, является характеристическая функция рациональных чисел, ${displaystyle chi _ {mathbb {Q}}}$ , также известный как Функция Дирихле который прерывистый везде.

Доказательство —

Приведем два доказательства.

Это можно увидеть, заметив, что для любого конечного набора рациональных чисел характеристическая функция для этого набора - Бэр 1, а именно функция ${displaystyle g_ {n} (x) = max (0, {1-ая (x, K)})}$ сходится тождественно к характеристической функции ${displaystyle K}$ , куда ${displaystyle K}$ - конечный набор рациональных чисел. Поскольку рациональные числа счетны, мы можем посмотреть на точечный предел этих вещей на ${displaystyle K_ {n} = {r_ {1}, r_ {2}, точки, r_ {n}}}$ , куда ${displaystyle r_ {n}}$ это перечисление рациональных чисел. Это не Бэр-1 по упомянутой выше теореме: множество разрывов - это весь интервал (разумеется, множество точек непрерывности не сходится).
Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом: