Компакт Банаха – Мазура - Википедия - Banach–Mazur compactum

в математический исследование функциональный анализ, то Расстояние Банаха – Мазура это способ определить расстояние на съемочной площадке Q(п) из п-размерный нормированные пространства. При таком расстоянии набор изометрия классы п-мерные нормированные пространства становятся компактное метрическое пространство, называется Компакт Банаха – Мазура.

Определения

Если Икс и Y - два конечномерных нормированных пространства одной размерности, пусть GL (Икс,Y) обозначают совокупность всех линейных изоморфизмов Т : Икс → Y. С || Т || мы обозначаем норма оператора такой линейной карты - максимальный коэффициент, на который она «удлиняет» векторы. Расстояние Банаха – Мазура между Икс и Y определяется

${ displaystyle delta (X, Y) = log { Bigl (} inf { | T | | T ^ {- 1} |: T in operatorname {GL} (X, Y ) } { Bigr)}.}$

Имеем δ (Икс, Y) = 0 тогда и только тогда, когда пробелы Икс и Y изометрически изоморфны. Оборудован метрикой δ, пространство классов изометрии п-мерные нормированные пространства становятся компактное метрическое пространство, называемый компактом Банаха – Мазура.

Многие авторы предпочитают работать с мультипликативное расстояние Банаха – Мазура

${ Displaystyle d (X, Y): = mathrm {e} ^ { delta (X, Y)} = inf { | T | | T ^ {- 1} |: T in operatorname {GL} (X, Y) },}$

для которого d(Икс, Z) ≤ d(Икс, Y) d(Y, Z) и d(Икс, Икс) = 1.

Характеристики

Теорема Ф. Джона на максимальном эллипсоиде, содержащемся в выпуклом теле, дает оценку:

${ displaystyle d (X, ell _ {n} ^ {2}) leq { sqrt {n}}, ,}$ ^[1]

где ℓ_п² обозначает р^п с евклидовой нормой (см. статью о L^п пробелы Отсюда следует, что d(Икс, Y) ≤ п для всех Икс, Y ∈ Q(п). Однако для классических пространств эта верхняя оценка диаметра Q(п) далеко не подходит. Например, расстояние между ℓ_п¹ и ℓ_п^∞ (только) в порядке п^1/2 (с точностью до мультипликативной постоянной, не зависящей от размерности п).

Большое достижение в области оценки диаметра Q(п) принадлежит Э. Глускину, который в 1981 году доказал, что (мультипликативный) диаметр компакта Банаха – Мазура ограничен снизу величиной c п, для некоторых универсальных c > 0.

Метод Глускина вводит класс случайных симметричных многогранников п(ω) в р^п, а нормированные пространства Икс(ω) имея п(ω) как единичный шар (векторное пространство р^п а норма - это измерять из п(ω)). Доказательство состоит в том, чтобы показать, что требуемая оценка верна с большой вероятностью для двух независимых копий нормированного пространства. Икс(ω).

Q(2) является абсолютный разгибатель.^[2] С другой стороны, Q(2) не гомеоморфно Куб Гильберта.

Примечания

Рекомендации

• Яннопулос, А.А. (2001) [1994], «Компакт Банаха – Мазура», Энциклопедия математики, EMS Press
• Глускин, Ефим Д. (1981). «Диаметр компакта Минковского примерно равен п (на русском)". Функц. Анальный. и приложен. 15 (1): 72–73. МИСТЕР  0609798.
• Томчак-Егерманн, Николь (1989). Расстояния Банаха-Мазура и конечномерные операторные идеалы. Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; опубликовано в США совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. С. xii + 395. ISBN  0-582-01374-7. МИСТЕР  0993774.
• https://planetmath.org/BanachMazurCompactum
• Заметка о расстоянии Банаха-Мазура до куба
• Компакт Банаха-Мазура - это компактификация Александрова гильбертова кубического многообразия.