Эллипсоид Джона - John ellipsoid

Воспроизвести медиа

Внешний эллипсоид Лёвнера-Джона, содержащий набор точек в р²

В математика, то Эллипсоид Джона или же Эллипсоид Лёвнера-Джона E(K) связанный с выпуклое тело K в п-размерный Евклидово пространство р^п можно сослаться на п-размерный эллипсоид максимального объем содержащиеся в K или эллипсоид минимального объема, содержащий K.

Часто эллипсоид минимального объема называют Löwner эллипсоидом, а эллипсоид максимального объема - как эллипсоид Джона (хотя Джон работал с эллипсоидом минимального объема в своей оригинальной статье).^[1] Описанный эллипсоид минимального объема также называют внешний Эллипсоид Лёвнера-Джона а максимальный объем вписанного эллипсоида как внутренний Эллипсоид Лёвнера-Джона.^[2]

Характеристики

Эллипсоид Джона назван в честь немецко-американского математик Фриц Джон, которые в 1948 г. доказали, что каждое выпуклое тело в р^п содержит единственный описанный эллипсоид минимального объема и что расширение этого эллипсоида в 1 /п содержится внутри выпуклого тела.^[3]

Внутренний эллипсоид Лёвнера-Джона E(K) выпуклого тела K ⊂ р^п это закрытый шар B в р^п если и только если B ⊆ K и существует целое число м ≥ п и для я = 1, ..., м, действительные числа c_я > 0 и единичные векторы ты_я ∈ S^п−1 ∩ ∂K такой, что^[4]

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} u_ {i} = 0}$

и для всех Икс ∈ р^п

${displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} (xcdot u_ {i}) u_ {i}.}$

Приложения

Вычисление эллипсоидов Лёвнера-Джона находит применение в обнаружение столкновения с препятствием для роботизированных систем, где расстояние между роботом и окружающей средой оценивается с использованием наилучшего соответствия эллипсоида.^[5]

Он также имеет приложения в оптимизация портфеля с транзакционными издержками.^[6]

Смотрите также

• Штайнер инеллипс, частный случай внутреннего эллипсоида Лёвнера-Джона для треугольника.
• Жирный объект, относящийся к радиусу наибольшего шарика.

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN  0273-0979.

Этот связанный с геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.