Группа Баумслаг-Герстен - Baumslag–Gersten group

В математическом предмете геометрическая теория групп, то Группа Баумслаг-Герстен, также известный как Группа Баумслаг, это особый группа с одним отношением проявляя некоторые замечательные свойства, касающиеся его конечного факторгруппы, это Функция Дена и сложность его проблема со словом.

Группа представлена презентация

${ Displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, t mid (t ^ {- 1} a ^ {- 1} т) а (т ^ {- 1} ат) = а ^ {2} rangle}$

Здесь экспоненциальная запись для элементов группы означает сопряжение, т. Е. ${ displaystyle g ^ {h} = h ^ {- 1} gh}$ за ${ displaystyle g, h in G}$.

История

Группа Баумслага – Герстена грамм был первоначально представлен в статье 1969 г. Гилберт Баумслаг,^[1] как пример не-финитно аппроксимируемая группа с одним отношением с дополнительным замечательным свойством, что все конечные факторгруппы этой группы циклические. Позже, в 1992 году, Стивен Герстен^[2] показало, что грамм, несмотря на то, что это группа с одним отношением, представленная довольно простой презентацией, имеет Функция Дена растет очень быстро, а именно быстрее, чем любая фиксированная итерация экспоненциальной функции. Этот пример остается самым быстрым известным ростом функции Дена среди групп с одним соотношением. В 2011 году Алексей Мясников, Александр Ушаков и Дон Ук Вон^[3] доказал, что грамм имеет проблема со словом разрешима за полиномиальное время.

Группа Баумслага-Герстена как расширение HNN

Группа Баумслага – Герстена грамм также может быть реализован как Расширение HNN из Баумслаг – Солитэр группа ${ displaystyle BS (1,2) = langle a, b mid a ^ {b} = a ^ {2} rangle}$ стабильным письмом т и две циклические ассоциированные подгруппы${ displaystyle langle a rangle, langle b rangle}$:

${ Displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, b, t mid a ^ {b} = a ^ {2} , a ^ {t} = b rangle.}$

Свойства группы Баумслага – Герстена. грамм

• Каждый конечный факторгруппа из грамм является циклический. В частности, группа грамм не является финитно аппроксимируемая.^[1]
• Эндоморфизм грамм является либо автоморфизмом, либо его образ является циклической подгруппой в грамм. В частности, группа грамм является Hopfian и ко-хопфианский.^[4]
• В группа внешних автоморфизмов Из(грамм) из грамм изоморфна аддитивной группе диадических рациональных чисел ${ displaystyle mathbb {Z} left [{ frac {1} {2}} right]}$ и, в частности, не является конечно порожденным.^[4]
• Герстен доказал^[2] что Функция Дена ж(п) из грамм растет быстрее, чем любая фиксированная итерация экспоненты. Впоследствии А. Н. Платонов^[5] доказал, что f (n) эквивалентно

${ displaystyle exp ^ { circ log n} (1) = ( exp underbrace { circ cdots circ} _ { log n { text {times}}} exp) (1)}$

• Мясников, Ушаков и Вон,^[3] используя методы сжатия арифметики "силовых цепей", доказал, что слово проблема в грамм разрешима за полиномиальное время. Таким образом, группа грамм демонстрирует большой разрыв между ростом функции Дена и сложностью проблемы слов.
• В проблема сопряженности в грамм как известно, разрешима, но единственная известная верхняя оценка сложности проблемы сопряжения в худшем случае, выполненная Янис Биз, является элементарный рекурсивный.^[6] Предполагается, что эта оценка точна, основываясь на некоторых сокращениях проблем разделения силовых цепей.^[7] Существует сильно в общем полиномиальное решение задачи сопряжения для грамм.^[7]

Обобщения

• Эндрю Бруннер^[4] рассматриваемые группы с одним соотношением вида

${ displaystyle langle a, t mid (a ^ {p}) ^ {(t ^ {- 1} a ^ {k} t)} = a ^ {m} rangle,}$ куда ${ displaystyle p, k, m neq 0}$

и обобщил многие оригинальные результаты Баумслага в этом контексте.

• Махан Митра^[8] считается словесно-гиперболический аналог грамм группы Баумслага – Герстена, где группа Митры обладает свободной подгруппой третьего ранга, которая сильно искажена в грамм, а именно там, где искажение подгруппы выше, чем любая фиксированная повторяемая степень экспоненты.

Смотрите также

• Подгруппа искажений

Рекомендации

внешняя ссылка

• Искажение конечно определенных подгрупп групп неположительной кривизны, блог семинара Берштейна весны 2011 г. в Корнелле, включая диаграммы ван Кампена, демонстрирующие искажение подгрупп в группе Баумслага – Герстена, и обсуждение примеров, подобных Митре.