Ко-хопфианская группа - Co-Hopfian group

В математическом предмете теория групп, а ко-хопфова группа это группа это не изоморфный на любой из своих подгруппы. Это понятие двойственно. Группа Хопфиана, названный в честь Хайнц Хопф. ^[1]

Формальное определение

Группа г называется ко-хопфианский если когда-нибудь ${ displaystyle varphi: G to G}$ является инъективный групповой гомоморфизм тогда ${ displaystyle varphi}$ является сюръективный, то есть ${ Displaystyle varphi (G) = G}$.^[2]

Примеры и не примеры

• Каждая конечная группа г ко-хопфиан.
• Бесконечная циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ не является ко-хопфовым, поскольку ${ displaystyle f: mathbb {Z} to mathbb {Z}, f (n) = 2n}$ является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом.
• Аддитивная группа действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$ не является ко-хопфовым, поскольку ${ Displaystyle mathbb {R}}$ является бесконечномерным векторным пространством над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и, следовательно, как группа ${ Displaystyle mathbb {R} cong mathbb {R} times mathbb {R}}$.^[2]
• Аддитивная группа рациональных чисел ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и фактор-группа ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ ко-хопфианские.^[2]
• Мультипликативная группа ${ Displaystyle mathbb {Q} ^ { ast}}$ ненулевых рациональных чисел не является кохопфовым, поскольку отображение ${ displaystyle mathbb {Q} ^ { ast} to mathbb {Q} ^ { ast}, q mapsto operatorname {sign} (q) , q ^ {2}}$ является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом.^[2] Таким же образом группа ${ Displaystyle mathbb {Q} _ {+} ^ { ast}}$ положительных рациональных чисел не является ко-хопфовым.
• Мультипликативная группа ${ Displaystyle mathbb {C} ^ { ast}}$ ненулевых комплексных чисел не является кохопфовым.^[2]
• Для каждого ${ Displaystyle п geq 1}$ в свободная абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {п}}$ не является со-Хопфистом.^[2]
• Для каждого ${ Displaystyle п geq 1}$ в свободная группа ${ displaystyle F_ {n}}$ не является со-Хопфистом.^[2]
• Существует конечно порожденная неэлементарная (т.е. не виртуально циклическая) практически свободная группа который является ко-хопфовым. Таким образом, подгруппа конечного индекса в конечно порожденной кохопфовой группе не обязательно должна быть кохопфовой, и быть кохопфовой не означает квазиизометрия инвариантен для конечно порожденных групп.^[3]
• Группы Баумслага – Солитера ${ Displaystyle BS (1, м)}$, где ${ displaystyle m geq 1}$, не являются со-Хопфистами.^[4]
• Если г это фундаментальная группа замкнутого асферического многообразия с ненулевым Эйлерова характеристика (или с ненулевым симплициальный объем или ненулевой L²-Число Бетти ), тогда г ко-хопфиан.^[5]
• Если г является фундаментальной группой замкнутого связного ориентированного неприводимого трехмерного многообразия M тогда г кохопфово тогда и только тогда, когда нет конечного покрытия M расслоение торов над окружностью или произведение окружности и замкнутой поверхности.^[6]
• Если г неприводимая решетка в вещественной полупростая группа Ли и г это не практически свободная группа тогда г ко-хопфиан.^[7] Например. этот факт относится к группе ${ Displaystyle SL (п, mathbb {Z})}$ для ${ Displaystyle п geq 3}$.
• Если г односторонний без кручения словесно-гиперболическая группа тогда г кохопфово, в силу Села.^[8]
• Если г - фундаментальная группа полного гладкого риманова п-многообразие (где п > 2) защемленной отрицательной кривизны, то г ко-хопфиан. ^[9]
• В группа классов отображения замкнутой гиперболической поверхности кохопфова.^[10]
• Группа Из(F_п) (где п> 2) является кохопфовым.^[11]
• Дельзант и Полягайло дали характеристику ко-хопфичности геометрически конечных Клейнианские группы изометрий ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ без 2-кручения.^[12]
• А прямоугольная группа Артина ${ Displaystyle А ( Гамма)}$ (где ${ displaystyle Gamma}$ конечный непустой граф) не кохопфово; отправка каждого стандартного генератора ${ Displaystyle А ( Гамма)}$ к власти ${ displaystyle> 1}$ определяет и эндоморфизм ${ Displaystyle А ( Гамма)}$ что инъективно, но не сюръективно.^[13]
• Конечно порожденная без кручения нильпотентная группа г может быть ко-хопфовым или не ко-хопфовым, в зависимости от свойств ассоциированного с ним рационального Алгебра Ли.^[5][3]
• Если г это относительно гиперболическая группа и ${ displaystyle varphi: G to G}$ является инъективным, но не сюръективным эндоморфизмом г тогда либо ${ Displaystyle varphi ^ {к} (G)}$ параболический для некоторых k > 1 или г распадается по практически циклической или параболической подгруппе.^[14]
• Григорчук группа г промежуточного роста не является ко-Хопфовым.^[15]
• Группа Томпсона F не является со-Хопфистом.^[16]
• Существует конечно порожденная группа г который не является ко-хопфианским, но имеет Имущество Каждан (Т).^[17]
• Если г Хигмэн универсальная конечно определенная группа тогда г не является ко-хопфианским, и г не может быть вложен в конечно порожденную рекурсивно представленную кохопфову группу.^[18]

Обобщения и родственные понятия

• Группа г называется конечно ко-хопфовский^[19] если когда-нибудь ${ displaystyle varphi: G to G}$ является инъективным эндоморфизмом, образ которого имеет конечный индекс в г тогда ${ Displaystyle varphi (G) = G}$. Например, для ${ Displaystyle п geq 2}$ в свободная группа ${ displaystyle F_ {n}}$ не кохопфово, но конечно кохопфово.
• Конечно порожденная группа г называется масштабно-инвариантный если существует вложенная последовательность подгрупп конечного индекса г, каждая изоморфна г, пересечение которого является конечной группой.^[4]
• Группа г называется дискохопфиан^[3] если существует инъективный эндоморфизм ${ displaystyle varphi: G to G}$ такой, что ${ Displaystyle bigcap _ {п = 1} ^ { infty} varphi ^ {n} (G) = {1 }}$.
• В грубая геометрия, метрическое пространство Икс называется квазиизометрически ко-Хопфу если каждый квазиизометрическое вложение ${ displaystyle f: X to X}$ грубо сюръективно (то есть является квазиизометрией). По аналогии, Икс называется грубо co-Hopf если каждый грубая заливка ${ displaystyle f: X to X}$ грубо сюръективно. ^[20]
• В метрическая геометрия, метрическое пространство K называется квазисимметрично ко-Хопфу если каждый квазисимметричное вложение ${ displaystyle K to K}$ находится на. ^[21]

Смотрите также

• Хопфовский объект

использованная литература

дальнейшее чтение

• К. Варадараджан, Хопфианские и кохопфианские объекты, Publicacions Matemàtiques 36 (1992), нет. 1. С. 293–317.