Квазисимметричная карта - Quasisymmetric map

В математика, а квазисимметричный гомеоморфизм между метрическими пространствами - это карта, которая обобщает билипшицев карты. В то время как билипшицевы карты сжимают или увеличивают диаметр множества не более чем на мультипликативный коэффициент, квазисимметричные карты удовлетворяют более слабому геометрическому свойству, заключающемуся в сохранении относительных размеров множеств: если два множества А и B иметь диаметры т и не более чем расстояние т по отдельности, то соотношение их размеров изменяется не более чем на мультипликативную константу. Эти карты также связаны с квазиконформный maps, поскольку во многих случаях они фактически эквивалентны.^[1]

Определение

Позволять (Икс, d_Икс) и (Y, d_Y) быть двумя метрические пространства. А гомеоморфизм ж:Икс → Y как говорят η-квазисимметричный если есть возрастающая функция η : [0, ∞) → [0, ∞) такое, что для любой тройки Икс, у, z различных точек в Икс, у нас есть

${ Displaystyle { гидроразрыва {d_ {Y} (f (x), f (y))} {d_ {Y} (f (x), f (z))}} leq eta left ({ frac {d_ {X} (x, y)} {d_ {X} (x, z)}} right).}$

Основные свойства

Обратные квазисимметричные

Если ж : Икс → Y обратимый η-квазисимметричное отображение, как указано выше, то его обратное отображение ${ displaystyle eta '}$-квазисимметричный, где ${ displaystyle eta '}$(т) = 1/η⁻¹(1/т).

Квазисимметричные карты сохраняют относительные размеры множеств

Если А и B являются подмножествами Икс и А это подмножество B, тогда

${ displaystyle { frac {1} {2 eta ({ frac {{ text {diam}} A} {{ text {diam}} B}})}} leq { frac {{ text {diam}} f (B)} {{ text {diam}} f (A)}} leq eta left ({ frac {2 { text {diam}} B} {{ text {diam }} A}} right).}$

Примеры

Слабо квазисимметричные карты

Карта е: X → Y как говорят H-слабо квазисимметричный для некоторых ЧАС > 0, если для всех троек различных точек х, у, г в Икс, у нас есть

${ Displaystyle | е (х) -f (y) | Leq H | е (х) -f (z) | ; ; ; { text {when}} ; ; ; | xy | leq | xz |}$

Не все слабо квазисимметричные карты квазисимметричны. Однако если Икс является связаны и Икс и Y находятся удвоение, то все слабо квазисимметричные отображения квазисимметричны. Привлекательность этого результата заключается в том, что доказать слабую квазисимметрию намного проще, чем напрямую доказать квазисимметрию, и во многих естественных условиях эти два понятия эквивалентны.

δ-монотонные отображения

А монотонная карта ж:ЧАС → ЧАС на Гильбертово пространство ЧАС является δ-монотонный если для всех Икс и у в ЧАС,

${ Displaystyle langle f (x) -f (y), x-y rangle geq delta | f (x) -f (y) | cdot | x-y |.}$

Чтобы понять, что это условие означает геометрически, предположим ж(0) = 0 и рассмотрим полученную оценку, когда у = 0. Тогда это означает, что угол между вектором Икс и его образ ж(Икс) остается между 0 и arccosδ < π/2.

Эти карты являются квазисимметричными, хотя они представляют собой гораздо более узкий подкласс квазисимметричных карт. Например, в то время как общая квазисимметричная карта в комплексной плоскости может отображать реальную линию в набор Хаусдорфово измерение строго больше единицы, a δ-monotone всегда будет отображать реальную линию на повернутую график липшицевой функции L: ℝ → ℝ.^[2]

Удвоение мер

Настоящая линия

Квазисимметричные гомеоморфизмы реальная линия самому себе можно охарактеризовать с точки зрения их производных.^[3] Возрастающий гомеоморфизм ж: ℝ → ℝ квазисимметричен тогда и только тогда, когда существует постоянная C > 0 и a удвоение меры μ на реальной линии, такой что

${ displaystyle f (x) = C + int _ {0} ^ {x} , d mu (t).}$

Евклидово пространство

Аналогичный результат имеет место в евклидовом пространстве. Предполагать C = 0 и перепишем приведенное выше уравнение для ж в качестве

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R}} left ({ frac {xt} {| xt |}} + { frac {t} {| t |}} right) d mu (t).}$

Записывая это таким образом, мы можем попытаться определить карту, используя тот же интеграл, но вместо этого интегрировать (что теперь является векторным интегралом) по ℝ^п: если μ является удвоением меры на ℝ^п и

${ displaystyle int _ {| x |> 1} { frac {1} {| x |}} , d mu (x) < infty}$

тогда карта

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} left ({ frac {xy} {| xy |}} + { гидроразрыв {y} {| y |}} right) , d mu (y)}$

квазисимметрична (фактически δ-монотонный для некоторых δ в зависимости от меры μ).^[4]

Квазисимметрия и квазиконформность в евклидовом пространстве

Позволять Ω и Ω´ - открытые подмножества ℝ^п. Если ж : Ω → Ω´ является η-квазисимметричный, то он тоже K-квазиконформный, куда K > 0 - постоянная, зависящая от η.

Наоборот, если ж : Ω → Ω´ является K-квазиконформный и B(Икс, 2р) содержится в Ω, тогда ж является η-квазисимметричный на B(Икс, р), куда η зависит только отK.

Смотрите также

• Расширение Дуади-Эрла

Рекомендации