Квазисимметричная функция - Quasisymmetric function

В алгебра и в частности в алгебраическая комбинаторика, а квазисимметричная функция любой элемент в кольцо квазисимметричных функций которое, в свою очередь, является подкольцом формальный степенной ряд кольцо со счетным числом переменных. Это кольцо обобщает кольцо симметричных функций. Это кольцо может быть реализовано как конкретный предел кольца квазисимметричных полиномов от п переменные, как п уходит в бесконечность. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между квазисимметричными многочленами могут быть выражены способом, не зависящим от числа п переменных (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями).

Определения

В кольцо квазисимметричных функций, обозначаемый QSym, может быть определен над любым коммутативное кольцо р такой как целые числа. Квазисимметричные функции степенной ряд ограниченной степени по переменным ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots}$ с коэффициентами в р, которые инвариантны относительно сдвига в том смысле, что коэффициент при мономе ${ Displaystyle x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {k} ^ { alpha _ {k}}}$ равен коэффициенту монома ${ displaystyle x_ {i_ {1}} ^ { alpha _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {i_ {k}} ^ { alpha _ { k}}}$ для любой строго возрастающей последовательности натуральных чисел ${ displaystyle i_ {1}$ индексация переменных и любой положительной целочисленной последовательности ${ displaystyle ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {k})}$ экспонентов.^[1]Большая часть исследований квазисимметричных функций основана на исследованиях симметричные функции.

Квазисимметричная функция от конечного числа переменных - это квазисимметричный многочлен Как симметричные, так и квазисимметричные полиномы можно охарактеризовать в терминах действия из симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$на кольцо многочленов в ${ displaystyle n}$ переменные ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {n}}$. Одно такое действие ${ displaystyle S_ {n}}$ переставляет переменные, меняя многочлен ${ displaystyle p (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ путем итеративной замены пар ${ Displaystyle (х_ {я}, х_ {я + 1})}$переменных, имеющих последовательные индексы. Эти многочлены, не измененные всеми такими перестановками, образуют подкольцо симметричных многочленов. Второе действие ${ displaystyle S_ {n}}$ условно переставляет переменные, меняя многочлен ${ Displaystyle p (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$поменяв местами пары ${ Displaystyle (х_ {я}, х_ {я + 1})}$ переменныхКроме в одночленах, содержащих обе переменные. Эти многочлены, не измененные всеми такими условными перестановками, образуют подкольцо квазисимметричных многочленов. Одна квазисимметричная функция от четырех переменных ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}}$ это многочлен

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} x_ {4} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} x_ {4}. ,}$

Простейшая симметрическая функция, содержащая эти мономы, - это

${ displaystyle { begin {align} x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} ^ {2 } x_ {3} x_ {4} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} x_ {4} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ { 2} ^ {2} x_ {4} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} ^ {2} x_ {4} {} + x_ {1} x_ {2} x_ {3} ^ {2} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {2} + х_ {2} х_ {3} х_ {4} ^ {2}. , конец {выровнено}}}$

Важные основы

QSym - это оцененный р-алгебра, разлагаясь как

${ displaystyle operatorname {QSym} = bigoplus _ {n geq 0} operatorname {QSym} _ {n}, ,}$

куда ${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n}}$ это ${ displaystyle R}$-охватывать всех квазисимметричных функций, которые однородный степени ${ displaystyle n}$. Два натуральных базы за ${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n}}$ являются мономиальный базис ${ Displaystyle {М _ { альфа} }}$ и фундаментальная основа ${ displaystyle {F _ { alpha} }}$ проиндексировано композиции ${ Displaystyle альфа = ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, ldots, альфа _ {к})}$ из ${ displaystyle n}$, обозначенный ${ displaystyle alpha vDash n}$. Мономиальный базис состоит из ${ displaystyle M_ {0} = 1}$ и все формальные степенные ряды

${ displaystyle M _ { alpha} = sum _ {i_ {1}$

Фундаментальная основа состоит ${ displaystyle F_ {0} = 1}$ и все формальные степенные ряды

${ displaystyle F _ { alpha} = sum _ { alpha successq beta} M _ { beta}, ,}$

куда ${ displaystyle alpha successq beta}$ означает, что мы можем получить ${ displaystyle alpha}$ путем сложения смежных частей ${ displaystyle beta}$, например, (3,2,4,2)${ displaystyle successq}$ (3,1,1,1,2,1,2). Таким образом, когда кольцо ${ displaystyle R}$ кольцо рациональное число, надо

${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n} = operatorname {span} _ { mathbb {Q}} {M _ { alpha} mid alpha vDash n } = operatorname {span} _ { mathbb {Q}} {F _ { alpha} mid alpha vDash n }. ,}$

Тогда можно определить алгебру симметричные функции ${ displaystyle Lambda = Lambda _ {0} oplus Lambda _ {1} oplus cdots}$ как подалгебра QSym, натянутая на мономиальные симметричные функции ${ displaystyle m_ {0} = 1}$ и все формальные степенные ряды ${ displaystyle m _ { lambda} = sum M _ { alpha},}$ где сумма по всем композициям ${ displaystyle alpha}$ которые перестраиваются в раздел ${ displaystyle lambda}$. Кроме того, у нас есть ${ displaystyle Lambda _ {n} = Lambda cap operatorname {QSym} _ {n}}$. Например, ${ Displaystyle F _ {(1,2)} = M _ {(1,2)} + M _ {(1,1,1)}}$ и ${ displaystyle m _ {(2,1)} = M _ {(2,1)} + M _ {(1,2)}.}$

Другие важные основы для квазисимметричных функций включают основу квазисимметричных функций Шура,^[2] и основы, связанные с перечислением в матроидах.^[3][4]

Приложения

Квазисимметричные функции применялись в перечислительной комбинаторике, теории симметрических функций, теории представлений и теории чисел. Приложения квазисимметричных функций включают перечисление P-разбиений,^[5][6]перестановки,^{[7][8][9][10]} картины^[11] цепочки посец,^[11][12] приведенные разложения в конечных группах Кокстера (через Симметричные функции Стэнли ),^[11] и функции парковки.^[13] В теории симметричных функций и теории представлений приложения включают изучение Полиномы Шуберта,^[14][15] Многочлены Макдональда,^[16]Алгебры Гекке,^[17] и полиномы Каждана – Люстига.^[18] Часто квазисимметричные функции обеспечивают мощный мост между комбинаторными структурами и симметричными функциями.

Связанные алгебры

Как градуированная алгебра Хопфа, двойственное кольцо квазисимметричных функций является кольцом некоммутативных симметрических функций. Каждая симметричная функция также является квазисимметричной функцией, и, следовательно, кольцо симметрических функций является подалгеброй кольца квазисимметричных функций.

Кольцо квазисимметричных функций является конечным объектом в категории градуированных алгебр Хопфа с одним характером.^[19]Следовательно, любая такая алгебра Хопфа имеет морфизм в кольцо квазисимметричных функций.

Одним из примеров этого является пиковая алгебра.^[20]

Другие родственные алгебры

В Алгебра Мальвенуто – Ройтенауэра^[21] является алгеброй Хопфа, основанной на перестановках, которая связывает кольца симметричных функций, квазисимметричных функций и некоммутативные симметричные функции, (обозначаемые Sym, QSym и NSym соответственно), как показано на следующей коммутативной диаграмме. Упомянутая выше двойственность между QSym и NSym отражена в главной диагонали этой диаграммы.

Многие родственные алгебры Хопфа были построены из моноидов Хопфа в категории видов Агияром и Маджаханом.^[22]

Можно также построить кольцо квазисимметричных функций от некоммутирующих переменных.^[23][24]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Практикум BIRS по квазисимметричным функциям