Хопфовский объект - Hopfian object

В разделе математики под названием теория категорий, а хопфийский объект это объект А такой, что любой эпиморфизм из А на А обязательно автоморфизм. В двойное понятие это то из объект когопфа, который является объектом B так что каждый мономорфизм из B в B обязательно автоморфизм. Эти два условия были изучены в категориях группы, кольца, модули, и топологические пространства.

Термины «хопфиан» и «когопфиан» появились с 1960-х годов и, как говорят, в честь Хайнц Хопф и его использование концепции группы хопфа в его работе над фундаментальные группы поверхностей. (Хазевинкель 2001, п. 63)

Характеристики

Оба условия можно рассматривать как типы условия конечности в своей категории. Например, если предположить Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора и работая в категория наборов, объекты гопфа и когопфа - это в точности конечные множества. Отсюда легко видеть, что все конечные группы, конечные модули и конечные кольца хопфовы и когопфовы в своих категориях.

Хопфовские объекты и когопфовы объекты элементарно взаимодействуют с проективные объекты и инъективные объекты. Два результата:

Инъективный гопфов объект является когопфовым.
Проективный когопфов объект является гопфовым.

Доказательство первого утверждения краткое: пусть А - инъективный хопфов объект, и пусть ж быть инъективным морфизмом из А к А. По приемистости ж факторы через карту идентичности я_А на А, дающий морфизм грамм такой, что gf=я_А. Как результат, грамм является сюръективным морфизмом и, следовательно, автоморфизмом, и тогда ж обязательно является обратным автоморфизмом к грамм. Это доказательство можно дуализировать, чтобы доказать второе утверждение.

Гопфовы и когопфовые группы

Хопфовы и когопфовые модули

Вот несколько основных результатов в категории модулей. Особенно важно помнить, что р_р быть гопфистом или когопфистом как модуль отличается от р быть хопфистом или когопфистом как кольцо.

А Нётерский модуль хопфианец, и Артинианский модуль когопфиан.
Модуль р_р гопфовский тогда и только тогда, когда р это непосредственно конечное кольцо. Симметрично эти два также эквивалентны модулю _рр быть хопфистом.
В отличие от приведенного выше, модули р_р или же _рр может быть совмещенным или не в любой комбинации. Пример кольцевого когопфиана с одной стороны, но не с другой стороны, был дан в (Варадараджан 1992 ). Однако, если любой из этих двух модулей является когопфовым, р гопфован с обеих сторон (поскольку р проективен как левый или правый модуль) и прямо конечен.

Кольца Хопфа и Когопфа

Ситуация в категории колец сильно отличается от категории модулей. Морфизмы в категории колец с единицей требуются для сохранения идентичности, то есть для перевода 1 в 1.

Если р удовлетворяет условие возрастающей цепи на идеалы, тогда р хопфианское. Это можно доказать по аналогии с фактом для нётеровых модулей. Однако аналога для «cohopfian» не существует, поскольку если ж является гомоморфизмом колец из р в р сохраняя идентичность, и образ ж не является р, то изображение уж точно не идеал р. В любом случае это показывает, что одностороннее нётерово или артиновское кольцо всегда хопфово.
Любое простое кольцо хопфово, поскольку ядро любого эндоморфизма является идеалом, который обязательно равен нулю в простом кольце. Напротив, в (Варадараджан 1992 ), пример некогопфа поле был дан.
В полное линейное кольцо Конец_D(V) счетного векторного пространства - это хопфово кольцо, которое не является хопфовым как модуль, поскольку у него всего три идеала, но оно не является непосредственно конечным. Бумага (Варадараджан 1992 ) также дает пример когопфова кольца, которое не является когопфовым как модуль.
Также в (Варадараджан 1992 ) показано, что для Логическое кольцо р и связанные с ним Каменное пространство Икс, кольцо р гопфово в категории колец тогда и только тогда, когда Икс когопфова в категории топологических пространств и р когопфово как кольцо тогда и только тогда, когда Икс гопфово как топологическое пространство.

Хопфовы и когопфовы топологические пространства

В (Варадараджан 1992 ) включен ряд результатов о компактных многообразиях. Во-первых, единственный компактные многообразия которые являются гопфовыми, конечны дискретные пространства. Во-вторых, компактные многообразия без края всегда когопфовы. Наконец, компактные многообразия с непустым краем не являются когопфовыми.

Хопфовский объект - Hopfian object

Содержание

Характеристики

Гопфовы и когопфовые группы

Хопфовы и когопфовые модули

Кольца Хопфа и Когопфа

Хопфовы и когопфовы топологические пространства

Рекомендации

внешняя ссылка