Уравнение Белавкина - Википедия - Belavkin equation

В квантовая вероятность, то Уравнение белавкина, также известный как Уравнение Белавкина-Шредингера, уравнение квантовой фильтрации, стохастическое главное уравнение, - квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику квантовая система под наблюдением в непрерывное время. Он был выведен и в дальнейшем изучен Вячеслав Белавкин в 1988 г.[1][2][3]

Обзор

в отличие от Уравнение Шредингера, который описывает детерминированную эволюцию волновая функция замкнутой системы (без взаимодействия) уравнение Белавкина описывает стохастическую эволюцию случайной волновой функции из открытая квантовая система взаимодействие с наблюдателем:

Здесь, - самосопряженный оператор (или вектор-столбец операторов) системы, связанный с внешним полем, гамильтониан, мнимая единица, - постоянная Планка, а - стохастический процесс, представляющий шум измерения, который является мартингалом с независимые приращения относительно входной вероятностной меры . Обратите внимание, что этот шум имеет зависимые приращения относительно меры вероятности выхода представляющий результат инновационного процесса (наблюдение). За , уравнение становится стандартным Уравнение Шредингера.

Стохастический процесс может быть смесью двух основных типов: Пуассон (или же Прыгать) тип , куда это Пуассоновский процесс соответствующий подсчету наблюдения, а Броуновский (или же распространение) тип , куда это стандарт Винеровский процесс соответствующий непрерывному наблюдению. Уравнения диффузионного типа могут быть получены как центральный предел уравнений типа скачка с ожидаемой скоростью скачков, возрастающей до бесконечности.

Случайная волновая функция нормализуется только в среднеквадратическом смысле , но в целом не может быть нормализован для каждого . Нормализация для каждого дает случайный вектор апостериорного состояния , эволюция которого описывается апостериорным уравнением Белавкина, которое является нелинейным, поскольку операторы и зависит от за счет нормализации. Стохастический процесс в апостериорном уравнении имеет независимые приращения относительно меры вероятности выхода , но не по отношению к входной мере. Белавкин также вывел линейное уравнение для ненормированного оператора плотности и соответствующее нелинейное уравнение для нормированного случайного оператора апостериорной плотности . Для двух типов шума измерения это дает восемь основных квантовых стохастических дифференциальных уравнений. Общие формы уравнений включают все типы шума и их представления в Пространство фока.[4][5]

Нелинейное уравнение, описывающее наблюдение положения свободной частицы, которое является частным случаем апостериорного уравнения Белавкина диффузионного типа, также было получено Диози[6] и появился в творчестве Гисина,[7] Гирарди, Перл и Римини,[8] хотя и с другой мотивацией или интерпретацией. Подобные нелинейные уравнения для апостериорных операторов плотности постулировались (хотя и без вывода) в квантовой оптике и теории квантовых траекторий,[9] где они называются стохастические главные уравнения. Усреднение уравнений для операторов случайной плотности по всем случайным траекториям приводит к Уравнение Линдблада,[10] который является детерминированным.

Нелинейные уравнения Белавкина для апостериорных состояний играют ту же роль, что и уравнения Стратоновича–Уравнение Кушнера в классической вероятности, а линейные уравнения соответствуют Уравнение Закая.[11] Уравнения Белавкина описывают непрерывное время декогеренция изначально чистого состояния в смешанное заднее состояние дающее строгое описание динамики коллапса волновой функции в результате наблюдения или измерения.[12][13][14]

Измерение без разрушения и квантовая фильтрация

Некоммутативность представляет собой серьезную проблему для вероятностной интерпретации квантовых стохастических дифференциальных уравнений из-за отсутствия условных ожиданий для общих пар квантовых наблюдаемых. Белавкин решил эту проблему, обнаружив связь неопределенности ошибки и возмущения и сформулировав принцип неразрушимости квантового измерения.[13][15] В частности, если случайный процесс соответствует ошибке (белый шум в диффузном случае) зашумленного наблюдения оператора с коэффициентом точности , то косвенное наблюдение возмущает динамику системы стохастической силой , называется Сила Ланжевена, который представляет собой еще один белый шум интенсивности это не коммутируется с ошибкой . Результатом такого возмущения является то, что выходной процесс коммутативен , и поэтому соответствует классическому наблюдению, а системные операторы удовлетворяют условию неразрушения: все будущие наблюдаемые должны коммутировать с прошлыми наблюдениями (но не с будущими наблюдениями): для всех (но нет ). Обратите внимание, что коммутация с и еще один оператор с не подразумевает куммутации с , так что алгебра будущих наблюдаемых остается некоммутативной. Условие неразборки необходимо и достаточно для существования условных ожиданий. , что делает возможной квантовую фильтрацию.[16]

Уравнения апостериорного состояния

Подсчет наблюдения

Позволять быть Пуассоновский процесс с шагом вперед почти везде и в противном случае и имея собственность . Ожидаемое количество событий , куда - ожидаемая скорость прыжков. Затем подставив для случайного процесса дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции проходит счетное наблюдение. Подстановка , куда - оператор коллапса, а , куда - оператор энергии, это уравнение можно записать в следующем виде

Нормализованная волновая функция называется вектор апостериорного состояния, эволюция которого описывается следующим нелинейным уравнением

куда имеет ожидание . Апостериорное уравнение можно записать в стандартной форме

с , , и . Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности а для нормированного оператора случайной апостериорной плотности являются следующими

куда . Обратите внимание, что последнее уравнение нелинейно.

Непрерывное наблюдение

Стохастический процесс , определенный в предыдущем разделе, имеет прямое приращение , которые имеют тенденцию в качестве . Следовательно, становится стандартом Винеровский процесс относительно входной вероятностной меры. Подстановка за дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции под постоянным наблюдением. Выходной процесс становится диффузионным инновационным процессом с приращениями . Нелинейное уравнение Белавкина диффузионного типа для апостериорного вектора состояния является

с и . Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности а для нормированного оператора случайной апостериорной плотности являются следующими

куда . Второе уравнение нелинейно из-за нормировки. Потому что , взяв среднее значение этих стохастических уравнений по всем приводит к Уравнение Линдблада

Пример: непрерывное наблюдение за положением свободной частицы

Рассмотрим свободную частицу массы . В позиция и импульс наблюдаемые соответствуют соответственно операторам умножения на и . Сделав следующие замены в уравнении Белавкина

апостериорное стохастическое уравнение становится

куда это апостериорное ожидание . По мотивам спонтанного теория коллапса вместо теории фильтрации это уравнение было также получено Диози,[17] показывая, что шум измерения это приращение стандарта Винеровский процесс. У этого уравнения есть решения в замкнутой форме:[18] а также уравнения для частицы в линейном или квадратичном потенциалах.[1][3][19] Для гауссова начального состояния эти решения соответствуют оптимальному квантовому линейному фильтру.[15] Решения уравнения Белавкина показывают, что в пределе волновая функция имеет конечную дисперсию,[20] поэтому решение квантовый эффект Зенона.[11]

Рекомендации

  1. ^ а б Белавкин, В. (1988). «Неразрушающие измерения, нелинейная фильтрация и динамическое программирование квантовых случайных процессов». В А. Блакьер (ред.). Материалы мастерской Bellmann Continuum "Моделирование и управление системами". Конспект лекций в области управления и информатики. 121. София-Антиполис: Спрингер-Верлаг. С. 245–265.
  2. ^ Белавкин, В. (1989). «Наблюдение с непрерывным счетом и апостериорная квантовая динамика». J Phys A. 22 (23): L1109 – L1114. Bibcode:1989JPhA ... 22L1109B. Дои:10.1088/0305-4470/22/23/006.
  3. ^ а б Белавкин, В. (1989). «Новое волновое уравнение для непрерывного неразрушающего измерения». Письма о физике A. 140 (7–8): 355–358. arXiv:Quant-ph / 0512136. Bibcode:1989ФЛА..140..355Б. Дои:10.1016/0375-9601(89)90066-2.
  4. ^ Белавкин, В. (1995). «О стохастических генераторах вполне положительных коциклов». Расс Журн математики и физики. 3 (4): 523–528.
  5. ^ Белавкин, В. (1997). «Квантовая стохастическая положительная эволюция: характеристика, построение, расширение». Commun. Математика. Phys. 184 (3): 533–566. arXiv:math-ph / 0512042. Bibcode:1997CMaPh.184..533B. Дои:10.1007 / s002200050072.
  6. ^ Ди'ози, Л. (1989). «Модели универсального уменьшения макроскопических квантовых флуктуаций». Физический обзор A. 40 (3): 1165–1174. Bibcode:1989ПхРвА..40.1165Д. Дои:10.1103 / PhysRevA.40.1165.
  7. ^ Гисин, Н. (1989). «Стохастическая квантовая динамика и теория относительности». Helvetica Physica Acta. 62: 363–371.
  8. ^ Ghirardi, G.C .; Pearle, P .; Римини, А. (1990). «Марковские процессы в гильбертовом пространстве и непрерывная спонтанная локализация систем одинаковых частиц». Phys. Ред. А. 42 (1): 78–89. Bibcode:1990ПхРва..42 ... 78Г. Дои:10.1103 / PhysRevA.42.78.
  9. ^ Кармайкл, HJ (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике. Springer-Verlag.
  10. ^ Смолянов, О .; Трумэн, А. (1999). «Уравнения Шредингера-Белавкина и связанные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада». Теоретическая и математическая физика. 120 (2): 973–984. Bibcode:1999ТМП ... 120..973С. Дои:10.1007 / BF02557405.
  11. ^ а б Холево, А. (1991), Прохоров Ю.В. (ред.), Квантовая вероятность и квантовая статистика, Итоги науки и техники, 83, ВИНИТИ, с. 5–132.
  12. ^ Белавкин, В. (1990), Трумэн, А .; Дэвис, И.М. (ред.), Квантовая апостериорная стохастика и спонтанный коллапс, World Scientific, стр. 40–68.
  13. ^ а б Белавкин, В. (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Comm. Математика. Phys. 146 (3): 611–635. arXiv:math-ph / 0512070. Bibcode:1992CMaPh.146..611B. Дои:10.1007 / BF02097018.
  14. ^ Белавкин, В.П .; Мелшеймер, О. (1995), Гамильтоново решение квантового коллапса, диффузии состояний и спонтанной локализации, Издательство Пленум, с. 201–222, Дои:10.1007/978-1-4899-1391-3_20
  15. ^ а б Белавкин, В. (1980). «Оптимальная фильтрация марковских сигналов с помощью квантового белого шума». Радио Eng Электронная физика. 25: 1445–1453. arXiv:Quant-ph / 0512091. Дои:10.1007/978-1-4899-1391-3_37.
  16. ^ Bouten, L .; van Handel, R .; Джеймс, М.Р. (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор. 51 (2): 239–316. arXiv:математика / 0606118. Bibcode:2009SIAMR..51..239B. Дои:10.1137/060671504.
  17. ^ Диози, Л. (1988). «Непрерывное квантовое измерение и формализм Ито». Phys Lett A. 129 (8–9): 419–423. arXiv:1812.11591. Bibcode:1988ФЛА..129..419Д. Дои:10.1016 / 0375-9601 (88) 90309-X.
  18. ^ Диози, Л. (1988). «Локализованное решение простого нелинейного квантового уравнения Ланжевена». Phys Lett A. 132 (5): 233–236. Bibcode:1988ФЛА..132..233Д. Дои:10.1016/0375-9601(88)90555-5.
  19. ^ Белавкин, В.П .; Сташевский, П. (1992). «Наблюдение без разрушения свободной квантовой частицы». Phys Rev A. 45 (3): 1347–1357. arXiv:Quant-ph / 0512138. Bibcode:1992ПхРвА..45.1347Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.45.1347. PMID  9907114.
  20. ^ Колокольцов1, В. (1995). «Теория рассеяния для уравнения Белавкина, описывающего квантовую частицу с непрерывно наблюдаемой координатой». Журнал математической физики. 36 (6): 2741–2760. Bibcode:1995JMP .... 36,2741K. Дои:10.1063/1.531063.