Псевдоспектральный метод Беллмана - Bellman pseudospectral method

В Псевдоспектральный метод Беллмана это псевдоспектральный метод за оптимальный контроль на основе Принцип оптимальности Беллмана. Это часть более широкой теории псевдоспектральное оптимальное управление, термин, придуманный Росс.[1] Метод назван в честь Ричард Э. Беллман. Он был представлен Росс и другие.[2][3]сначала как средство решения многомасштабных задач оптимального управления, а затем был расширен для получения субоптимальных решений общих задач оптимального управления.

Теоретические основы

Мультимасштабная версия псевдоспектрального метода Беллмана основана на свойстве спектральной сходимости Псевдоспектральные методы Росса – Фахру.. То есть, поскольку псевдоспектральный метод Росс – Фару сходится с экспоненциально высокой скоростью, поточечная сходимость к решению достигается при очень небольшом количестве узлов, даже когда решение имеет высокочастотные компоненты. Этот сглаживание Явление оптимального управления было впервые обнаружено Россом и др.[2] Вместо того, чтобы использовать методы обработки сигналов для сглаживания решения, Росс и др. предположил, что принцип оптимальности Беллмана может быть применен к конвергентному решению для извлечения информации между узлами. Поскольку узлы Гаусса – Лобатто группируются в граничных точках, Росс и др. предположил, что если плотность узлов вокруг начальных условий удовлетворяет Теорема выборки Найквиста – Шеннона, то полное решение может быть восстановлено путем решения задачи оптимального управления рекурсивным способом по кусочным сегментам, известным как сегменты Беллмана.[2]

В расширенной версии метода Росс и др.,[3] предложили, что этот метод также можно использовать для создания возможных решений, которые не обязательно будут оптимальными. В этой версии можно применить псевдоспектральный метод Беллмана для еще меньшего числа узлов, даже зная, что решение может не сходиться к оптимальному. В этой ситуации получается допустимое решение.

Замечательной особенностью псевдоспектрального метода Беллмана является то, что он автоматически определяет несколько показателей субоптимальности на основе исходной псевдоспектральной стоимости и стоимости, полученной из суммы сегментов Беллмана.[2][3]

Вычислительная эффективность

Одно из вычислительных преимуществ псевдоспектрального метода Беллмана состоит в том, что он позволяет избежать правил Гаусса в распределении узловых точек. То есть в стандартном псевдоспектральном методе распределение узловых точек является гауссовым (обычно Гаусс-Лобатто для конечного горизонта и Гаусс-Радау для бесконечного горизонта). Гауссовы точки разрежены в середине интервала (середина определяется в сдвинутом смысле для задач с бесконечным горизонтом) и плотны на границах. Накопление точек второго порядка вблизи границ приводит к потере узлов. Псевдоспектральный метод Беллмана использует накопление узлов в начальной точке для сглаживания решения и отбрасывает оставшиеся узлы. Таким образом, окончательное распределение узлов не является гауссовым и плотным, в то время как вычислительный метод сохраняет разреженную структуру.

Приложения

Псевдоспектральный метод Беллмана был впервые применен Россом и др.[2] решить сложную задачу оптимизации траектории очень малой тяги. Он был успешно применен для решения практической задачи создания решений с очень высокой точностью для задачи закачки космической капсулы с лунной орбиты в точечное состояние границы раздела с Землей для успешного входа в атмосферу.[4][5]

Псевдоспектральный метод Беллмана чаще всего используется в качестве дополнительной проверки оптимальности псевдоспектрального решения, генерируемого псевдоспектральными методами Росса – Фару. То есть помимо использования Принцип минимума Понтрягина В сочетании с решениями, полученными псевдоспектральными методами Росса – Фару, псевдоспектральный метод Беллмана используется как первичный тест на оптимальность вычисленного решения.[6][7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Росс, И. М .; Карпенко, М. (2012). «Обзор псевдоспектрального оптимального управления: от теории к полету». Ежегодные обзоры под контролем. 36 (2): 182–197. Дои:10.1016 / j.arcontrol.2012.09.002.
  2. ^ а б c d е Росс, И. М .; Gong, Q .; Сехават П. (2007). «Оптимизация траектории с малой тягой и высокой точностью». Журнал управления, контроля и динамики. 30 (4): 921–933. Bibcode:2007JGCD ... 30..921R. Дои:10.2514/1.23181. HDL:10945/49785.
  3. ^ а б c И. М. Росс, К. Гонг и П. Сехават, Псевдоспектральный метод Беллмана, Конференция и выставка специалистов по астродинамике AIAA / AAS, Гонолулу, Гавайи, AIAA-2008-6448, 18–21 августа 2008 г.
  4. ^ Ян, Х .; Gong, Q .; Парк, Ц .; Росс, И. М .; Д'Суза, К. Н. (2011). «Оптимизация траектории с высокой точностью для трансземной лунной миссии». Журнал управления, контроля и динамики. 34 (4): 1219–1227. Bibcode:2011JGCD ... 34.1219Y. Дои:10.2514/1.49237.
  5. ^ Х. Ян, К. Гонг, К. Д. Парк, И. М. Росс и К. Н. Д'Суза, Оптимизация траектории от Луны к Земле с высокой точностью, Конференция AIAA по наведению, навигации и управлению, 2010.
  6. ^ Fleming, A .; Сехават, П .; Росс, И. М. (2010). «Минимальная переориентация твердого тела». Журнал руководства, управления и динамики. 33 (1): 160–170. Bibcode:2010JGCD ... 33..160F. Дои:10.2514/1.43549.
  7. ^ Росс, И. М .; Сехават, П .; Fleming, A .; Гонг, Q. (2008). «Оптимальное управление с обратной связью: основы, примеры и экспериментальные результаты для нового подхода». Журнал наведения, управления и динамики. 31 (2): 307–321. Bibcode:2008JGCD ... 31..307R. Дои:10.2514/1.29532.