Неравенство Беннетта - Википедия - Bennetts inequality

В теория вероятности, Беннета неравенство обеспечивает верхняя граница на вероятность что сумма независимые случайные величины отклоняется от своего ожидаемое значение более чем на любую указанную сумму. Неравенство Беннета было доказано Джорджем Беннетом из Университет Нового Южного Уэльса в 1962 г.^[1]

Заявление

Позволять $Икс 1, \dots Икс п$ быть независимые случайные величины с конечной дисперсией и предположим (для простоты, но не теряя общий смысл ) все они имеют нулевое ожидаемое значение. Далее предположим $Икс я \leq а$ почти наверняка для всех $я$ , и определим ${ Displaystyle S_ {п} = сумма _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$ и ${ displaystyle sigma ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {E} (X_ {i} ^ {2}).}$ Тогда для любого $т \geq 0$ ,

{ displaystyle Pr left (S_ {n}> t right) leq exp left (-n { frac { sigma ^ {2}} {a ^ {2}}} h left ({ frac {at} {n sigma ^ {2}}} right) right),}

куда $час (ты) = (1 + ты) журнал (1 + ты) - ты$ .^[2]^[3]

Обобщения и сравнения с другими оценками

Обобщения см. В Freedman (1975).^[4] и Фан, Грама и Лю (2012)^[5] для мартингейл вариант неравенства Беннета и его улучшение соответственно.

Неравенство Хёффдинга только предполагает, что слагаемые ограничены почти наверняка, в то время как неравенство Беннета предлагает некоторое улучшение, когда дисперсии слагаемых малы по сравнению с их почти надежными границами. Однако неравенство Хёффдинга влечет за собой субгауссовы хвосты, тогда как в целом неравенство Беннета имеет пуассоновы хвосты.^{[нужна цитата ]}В обоих неравенствах, в отличие от некоторых других неравенств или предельных теорем, нет требования, чтобы составляющие переменные имели идентичные или похожие распределения.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Неравенство концентраций - сводка хвостовых границ случайных величин.

Рекомендации

^ Беннет, Г. (1962). «Вероятностные неравенства для суммы независимых случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации. 57 (297): 33–45. Дои:10.2307/2282438. JSTOR 2282438.
^ Деврой, Люк; Лугоши, Габор (2001). Комбинаторные методы оценки плотности. Springer. п. 11. ISBN 978-0-387-95117-1.
^ Бушерон, Стефан; Лугоши, Габор; Массарт, Паскаль (2013). Неравенства концентрации, неасимптотическая теория независимости. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-953525-5.
^ Фридман, Д.А. (1975). «О хвостовых вероятностях мартингалов». 3. Анналы вероятности: 100–118. JSTOR 2959268. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ Fan, X .; Грама, I .; Лю, К. (2012). «Неравенство Хёффдинга для супермартингалов». Случайные процессы и их приложения. 122: 3545–3559. arXiv:1109.4359. Дои:10.1016 / j.spa.2012.06.009.

Этот вероятность -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[bennett-1] Беннет, Г. (1962). «Вероятностные неравенства для суммы независимых случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации. 57 (297): 33–45. Дои:10.2307/2282438. JSTOR 2282438.

[devroye-2] Деврой, Люк; Лугоши, Габор (2001). Комбинаторные методы оценки плотности. Springer. п. 11. ISBN 978-0-387-95117-1.

[BLM2013-3] Бушерон, Стефан; Лугоши, Габор; Массарт, Паскаль (2013). Неравенства концентрации, неасимптотическая теория независимости. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-953525-5.

[4] Фридман, Д.А. (1975). «О хвостовых вероятностях мартингалов». 3. Анналы вероятности: 100–118. JSTOR 2959268. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[5] Fan, X .; Грама, I .; Лю, К. (2012). «Неравенство Хёффдинга для супермартингалов». Случайные процессы и их приложения. 122: 3545–3559. arXiv:1109.4359. Дои:10.1016 / j.spa.2012.06.009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]