Ядро Бергмана - Википедия - Bergman kernel

в математический исследование несколько сложных переменных, то Ядро Бергмана, названный в честь Стефан Бергман, это воспроизводящее ядро для Гильбертово пространство из всех квадратично интегрируемый голоморфные функции на домене D вC^п.

Подробно пусть L²(D) - гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на D, и разреши L^2,час(D) обозначают подпространство, состоящее из голоморфных функций в D: то есть,

{ Displaystyle L ^ {2, h} (D) = L ^ {2} (D) cap H (D)}

куда ЧАС(D) - пространство голоморфных функций в D. потом L^2,час(D) является гильбертовым пространством: это закрыто линейное подпространство L²(D), и поэтому полный согласно своему праву. Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной квадратично интегрируемой функции ƒ в D

{ Displaystyle sup _ {г в К} | е (г) | leq C_ {K} | е | _ {L ^ {2} (D)}}

(1)

для каждого компактный подмножество K из D. Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L²(D) следует также компактная сходимость, а значит, и предельная функция голоморфна.

Еще одно следствие (1) состоит в том, что для каждого z ∈ D, оценка

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z}: f mapsto f (z)}

это непрерывный линейный функционал на L^2,час(D). Посредством Теорема Рисса о представлении, этот функционал можно представить как внутренний продукт с элементом L^2,час(D), то есть

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z} f = int _ {D} f ( zeta) { overline { eta _ {z} ( zeta)}} , d mu ( zeta) .}

Ядро Бергмана K определяется

{ Displaystyle К (z, zeta) = { overline { eta _ {z} ( zeta)}}.}

Ядро K(z, ζ) голоморфна в z и антиголоморфна по ζ, и удовлетворяет

{ Displaystyle е (z) = int _ {D} К (z, zeta) f ( zeta) , d mu ( zeta).}

Одно из ключевых наблюдений по поводу этой картины состоит в том, L^2,час(D) можно отождествить с пространством ${ displaystyle L ^ {2}}$ голоморфных (n, 0) -форм на D умножением на ${ Displaystyle dz ^ {1} клин cdots клин dz ^ {п}}$ . Поскольку ${ displaystyle L ^ {2}}$ скалярное произведение на этом пространстве явно инвариантно относительно биголоморфизмов D, ядра Бергмана и ассоциированного Метрика Бергмана поэтому автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области.

Ядро Бергмана - Википедия - Bergman kernel

Смотрите также

Рекомендации