Пространство Бергмана - Википедия - Bergman space

В комплексный анализ, функциональный анализ и теория операторов, а Пространство Бергмана это функциональное пространство из голоморфные функции в домен D из комплексная плоскость которые ведут себя достаточно хорошо на границе, что абсолютно интегрируемый. В частности, для 0 < п < ∞, пространство Бергмана А^п(D) - пространство всех голоморфных функций ${ displaystyle f}$ в D для чего p-норма конечно:

${ Displaystyle | е | _ {A ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (x + iy) | ^ {p} , dx , dy right ) ^ {1 / p} < infty.}$

Количество ${ Displaystyle | е | _ {A ^ {p} (D)}}$ называется норма функции ж; это правда норма если ${ displaystyle p geq 1}$. Таким образом А^п(D) - подпространство голоморфных функций, находящихся в пространстве L^п(D). Пространства Бергмана Банаховы пространства, что является следствием оценки, справедливой на компактный подмножества K из D:

${ Displaystyle sup _ {z in K} | f (z) | leq C_ {K} | f | _ {L ^ {p} (D)}.}$

(1)

Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L^п(D) подразумевает также компактная сходимость, а значит, и предельная функция голоморфна.

Если п = 2, тогда А^п(D) это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства, ядро ​​которого задается Ядро Бергмана.

Частные случаи и обобщения

Если домен D является ограниченный, то норма часто определяется выражением

${ Displaystyle | е | _ {A ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (z) | ^ {p} , dA right) ^ {1 / p} ; ; ; ; ; (f in A ^ {p} (D)),}$

куда ${ displaystyle A}$ нормализованный Мера Лебега комплексной плоскости, т.е. dA = дз/Площадь(D). Альтернативно dA = дз/π используется, независимо от площади D.Пространство Бергмана обычно определяют на открытом единичный диск ${ Displaystyle mathbb {D}}$ комплексной плоскости, и в этом случае ${ Displaystyle A ^ {p} ( mathbb {D}): = A ^ {p}}$. В случае гильбертова пространства, учитывая ${ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n} in A ^ {2}}$, у нас есть

${ Displaystyle | е | _ {A ^ {2}} ^ {2}: = { frac {1} { pi}} int _ { mathbb {D}} | f (z) | ^ {2} , dz = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {| a_ {n} | ^ {2}} {n + 1}},}$

то есть, А² изометрически изоморфна взвешенному ℓ^п(1 / (п + 1)) Космос.^[1] В частности многочлены находятся плотный в А². Аналогично, если D = ℂ₊, правая (или верхняя) комплексная полуплоскость, то

${ Displaystyle | F | _ {A ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ^ {2}: = { frac {1} { pi}} int _ { mathbb {C} _ {+}} | F (z) | ^ {2} , dz = int _ {0} ^ { infty} | f (t) | ^ {2} { frac {dt} { t}},}$

куда ${ Displaystyle F (z) = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- tz} , dt}$, то есть, А²(ℂ₊) изометрически изоморфна взвешенному L^п_{1 / т} (0,∞) Космос (через Преобразование Лапласа ).^[2][3]

Весовое пространство Бергмана А^п(D) аналогично определяется,^[1] т.е.

${ Displaystyle | е | _ {A_ {w} ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (x + iy) | ^ {2} , w (x + iy) , dx , dy right) ^ {1 / p},}$

при условии, что ш : D → [0, ∞) выбирается таким образом, что ${ displaystyle A_ {w} ^ {p} (D)}$ это Банахово пространство (или Гильбертово пространство, если п = 2). В случае, если ${ Displaystyle D = mathbb {D}}$, весовым пространством Бергмана ${ displaystyle A _ { alpha} ^ {p}}$^[4] мы имеем в виду пространство всех аналитических функций ж такой, что

${ Displaystyle | е | _ {A _ { alpha} ^ {p}}: = left (( alpha +1) int _ { mathbb {D}} | f (z) | ^ {p } , (1- | z | ^ {2}) ^ { alpha} dA (z) right) ^ {1 / p} < infty,}$

и аналогично в правой полуплоскости (т.е. ${ Displaystyle А _ { альфа} ^ {р} ( mathbb {C} _ {+})}$) у нас есть^[5]

${ Displaystyle | е | _ {A _ { alpha} ^ {p} ( mathbb {C} _ {+})}: = left ({ frac {1} { pi}} int _ { mathbb {C} _ {+}} | f (x + iy) | ^ {p} x ^ { alpha} , dx , dy right) ^ {1 / p},}$

и это пространство изометрически изоморфно через преобразование Лапласа пространству ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} _ {+}, , d mu _ { alpha})}$,^[6][7] куда

${ displaystyle d mu _ { alpha}: = { frac { Gamma ( alpha +1)} {2 ^ { alpha} t ^ { alpha +1}}} , dt}$

(здесь Γ обозначает Гамма-функция ).

Иногда рассматриваются дополнительные обобщения, например ${ Displaystyle А _ { ню} ^ {2}}$ обозначает взвешенное пространство Бергмана (часто называемое дзен-пространством^[3]) относительно трансляционно-инвариантной положительной регулярной Мера Бореля ${ displaystyle nu}$ на замкнутой правой комплексной полуплоскости ${ displaystyle { overline { mathbb {C} _ {+}}}}$, то есть

${ displaystyle A _ { nu} ^ {p}: = left {f: mathbb {C} _ {+} longrightarrow mathbb {C} ; { text {analytic}} ;: ; | f | _ {A _ { nu} ^ {p}}: = left ( sup _ { epsilon> 0} int _ { overline { mathbb {C} _ {+}}} | f (z + epsilon) | ^ {p} , d nu (z) right) ^ {1 / p} < infty right }.}$

Воспроизведение ядер

Воспроизводящее ядро ${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2}}}$ из А² в точке ${ Displaystyle г в mathbb {D}}$ дан кем-то^[1]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2}} ( zeta) = { frac {1} {(1 - { overline {z}} zeta) ^ {2}}} ; ; ; ; ; ( zeta in mathbb {D}),}$

и аналогично для ${ Displaystyle А ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})}$ у нас есть^[5]

${ Displaystyle к_ {z} ^ {A ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ( zeta) = { frac {1} {({ overline {z}} + zeta) ^ {2}}} ; ; ; ; ; ( zeta in mathbb {C} _ {+}),}$.

В общем, если ${ displaystyle varphi}$ отображает домен ${ displaystyle Omega}$ конформно на область ${ displaystyle D}$, тогда^[1]

${ Displaystyle к_ {z} ^ {A ^ {2} ( Omega)} ( zeta) = k _ { varphi (z)} ^ {{ mathcal {A}} ^ {2} (D)} ( varphi ( zeta)) , { overline { varphi '(z)}} varphi' ( zeta) ; ; ; ; ; (z, zeta in Omega).}$

Во взвешенном случае имеем^[4]

${ Displaystyle к_ {z} ^ {A _ { alpha} ^ {2}} ( zeta) = { frac { alpha +1} {(1 - { overline {z}} zeta) ^ { альфа +2}}} ; ; ; ; ; (z, zeta in mathbb {D}),}$

и^[5]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A _ { alpha} ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ( zeta) = { frac {2 ^ { alpha} ( alpha +1 )} {({ overline {z}} + zeta) ^ { alpha +2}}} ; ; ; ; ; (z, zeta in mathbb {C} _ {+} ).}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бергман, Стефан (1970), Ядерная функция и конформное отображение, Математические исследования, 5 (2-е изд.) Американского математического общества
• Hedenmalm, H .; Коренблюм, Б .; Чжу, К. (2000), Теория пространств Бергмана, Спрингер, ISBN  978-0-387-98791-0
• Рихтер, Стефан (2001) [1994], «Пространства Бергмана», Энциклопедия математики, EMS Press.

Смотрите также

• Ядро Бергмана
• Банахово пространство
• Гильбертово пространство
• Воспроизведение ядра гильбертова пространства
• Харди космос
• Пространство Дирихле

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.