Пространство Дирихле - Dirichlet space

В математика, то Пространство Дирихле на домене ${ Displaystyle Omega substeq mathbb {C}, , { mathcal {D}} ( Omega)}$ (названный в честь Питер Густав Лежен Дирихле ), это воспроизводящее ядро гильбертова пространства из голоморфные функции, содержащиеся в Харди космос ${ Displaystyle H ^ {2} ( Omega)}$ , для чего Интеграл Дирихле, определяется

{ displaystyle { mathcal {D}} (f): = {1 over pi} iint _ { Omega} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , dA = {1 over 4 pi} iint _ { Omega} | partial _ {x} f | ^ {2} + | partial _ {y} f | ^ {2} , dx , dy}

конечно (здесь dA обозначает площадь меры Лебега на комплексной плоскости ${ displaystyle mathbb {C}}$ ). Последний является интегралом, входящим в Принцип Дирихле за гармонические функции. Интеграл Дирихле определяет полунорма на ${ Displaystyle { mathcal {D}} ( Omega)}$ . Это не норма в общем, поскольку ${ Displaystyle { mathcal {D}} (е) = 0}$ в любое время ж это постоянная функция.

За ${ displaystyle f, , g in { mathcal {D}} ( Omega)}$ , мы определяем

{ displaystyle { mathcal {D}} (f, , g): = {1 over pi} iint _ { Omega} f '(z) { overline {g' (z)}} , dA (z).}

Это полу-внутренний продукт и явно ${ Displaystyle { mathcal {D}} (е, , е) = { mathcal {D}} (е)}$ . Мы можем оборудовать ${ Displaystyle { mathcal {D}} ( Omega)}$ с внутренний продукт данный

{ displaystyle langle f, g rangle _ {{ mathcal {D}} ( Omega)}: = langle f, , g rangle _ {H ^ {2} ( Omega)} + { mathcal {D}} (f, , g) ; ; ; ; ; (f, , g in { mathcal {D}} ( Omega)),}

куда ${ Displaystyle langle cdot, , cdot rangle _ {H ^ {2} ( Omega)}}$ это обычный внутренний продукт на ${ displaystyle H ^ {2} ( Omega).}$ Соответствующая норма ${ Displaystyle | cdot | _ {{ mathcal {D}} ( Omega)}}$ дан кем-то

{ Displaystyle | е | _ {{ mathcal {D}} ( Omega)} ^ {2}: = | f | _ {H ^ {2} ( Omega)} ^ {2} + { mathcal {D}} (f) ; ; ; ; ; (f in { mathcal {D}} ( Omega)).}

Обратите внимание, что это определение не уникально, другой распространенный выбор - взять ${ Displaystyle | е | ^ {2} = | е (с) | ^ {2} + { mathcal {D}} (е)}$ , для некоторых фиксированных ${ displaystyle c in Omega}$ .

Пространство Дирихле не является алгебра, но пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} ( Omega) cap H ^ { infty} ( Omega)}$ это Банахова алгебра, относительно нормы

{ Displaystyle | е | _ {{ mathcal {D}} ( Omega) cap H ^ { infty} ( Omega)}: = | f | _ {H ^ { infty} ( Omega)} + { mathcal {D}} (f) ^ {1/2} ; ; ; ; ; (f in { mathcal {D}} ( Omega) cap H ^ { infty} ( Omega)).}

У нас обычно есть ${ Displaystyle Omega = mathbb {D}}$ (в единичный диск из комплексная плоскость ${ displaystyle mathbb {C}}$ ), в таком случае ${ Displaystyle { mathcal {D}} ( mathbb {D}): = { mathcal {D}}}$ , и если

{ Displaystyle е (г) = сумма _ {п geq 0} а_ {п} г ^ {п} ; ; ; ; ; (е в { mathcal {D}}),}

тогда

{ Displaystyle D (е) = сумма _ {п geq 1} п | а_ {п} | ^ {2},}

и

{ displaystyle | f | _ { mathcal {D}} ^ {2} = sum _ {n geq 0} (n + 1) | a_ {n} | ^ {2}.}

Четко, ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ содержит все многочлены и, в более общем плане, все функции ${ displaystyle f}$ , голоморфный на ${ Displaystyle mathbb {D}}$ такой, что ${ displaystyle f '}$ является ограниченный на ${ Displaystyle mathbb {D}}$ .

В воспроизводящее ядро из ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ в ${ Displaystyle ш в mathbb {C} setminus {0 }}$ дан кем-то

{ displaystyle k_ {w} (z) = { frac {1} {z { overline {w}}}} log left ({ frac {1} {1-z { overline {w}}) }} right) ; ; ; ; ; (z in mathbb {C} setminus {0 }).}

Пространство Дирихле - Dirichlet space

Смотрите также

Рекомендации