Парадокс коробки Бертрана - Википедия - Bertrands box paradox

Парадокс начинается с трех коробок, содержимое которых изначально неизвестно.

Парадокс коробки Бертрана это парадокс элементарного теория вероятности, впервые поставленный Джозеф Бертран в его работе 1889 года Calcul des probabilités.

Есть три коробки:

ящик с двумя золотыми монетами,
ящик с двумя серебряными монетами,
коробка, содержащая одну золотую монету и одну серебряную монету.

«Парадокс» заключается в вероятности того, что после случайного выбора коробки и извлечения одной случайной монеты, если это будет золотая монета, следующая монета, вытащенная из той же коробки, также будет золотой монетой.

Эти простые, но нелогичные головоломки используются в качестве стандартного примера при обучении теории вероятностей. Их решение иллюстрирует некоторые основные принципы, в том числе Аксиомы Колмогорова.

Решение

Может показаться, что вероятность того, что оставшаяся монета будет золотой, равна 1/2, но на самом деле вероятность 2/3.

Две очень похожие проблемы: Проблема Монти Холла иПроблема трех узников.

Ящики с ящиками объяснение

Проблему можно переосмыслить, описав коробки как имеющие по одному ящику на каждой из двух сторон. В каждом ящике находится монета. У одной коробки с каждой стороны по золотой монете (GG), по серебряной монете с каждой стороны (SS), а с другой - золотая монета с одной стороны и серебряная монета с другой (GS). Случайно выбирается коробка, открывается случайный ящик, в котором находят золотую монету. Какова вероятность того, что монета на другой стороне будет золотой?

Следующее рассуждение дает вероятность 1/2:

Первоначально все три коробки были выбраны с одинаковой вероятностью.
Выбранный ящик не может быть ящиком SS.
Так что это должна быть коробка GG или же GS.
Две оставшиеся возможности равновероятны. Таким образом, вероятность того, что коробка GG, а другая монета тоже золотая, 1/2.

Ошибка на последнем этапе. Хотя изначально эти два случая были одинаково вероятными, тот факт, что вы обязательно найдете золотую монету, если выберете GG коробку, но только на 50% уверены, что найдете золотую монету, если выбрали GS коробка, означает, что они больше не равновероятны, учитывая, что вы нашли золотую монету. Конкретно:

Вероятность того, что GG произвела бы золотую монету - 1.
Вероятность того, что SS произвела бы золотую монету 0.
Вероятность того, что GS произвел бы золотую монету 1/2.

Первоначально GG, SS и GS одинаково вероятны ${ displaystyle left ( mathrm {т. е. P (GG) = P (SS) = P (GS)} = { frac {1} {3}} right)}$ . Следовательно, по Правило Байеса условная вероятность того, что выбранный ящик GG, учитывая, что мы наблюдали золотую монету, это:

{ Displaystyle mathrm {P (GG mid see gold) = { frac {P (см. gold mid GG) times { frac {1} {3}}} {P (см. gold mid GG) times { frac {1} {3}} + P (см. Gold mid SS) times { frac {1} {3}} + P (см. Gold mid GS) times { frac {1} {3}}}}} = { frac { frac {1} {3}} { frac {1} {3}}} times { frac {1} {1 + 0 + { frac {1} {2}}}} = { frac {2} {3}}}

Правильный ответ 2/3 также можно получить следующим образом:

Первоначально все шесть монет были выбраны с одинаковой вероятностью.
Выбранная монета не может быть из ящика S коробки GS, или из любого ящика коробки SS.
Так что это должно исходить от грамм ящик коробки GS, или любой ящик коробки GG.
Три оставшихся варианта равновероятны, поэтому вероятность того, что ящик находится в коробке GG является 2/3.

Как вариант, можно просто отметить, что в выбранном сундучке две монеты одного типа. 2/3 времени. Таким образом, независимо от того, какая монета находится в выбранном ящике, в коробке есть две монеты этого типа. 2/3 времени. Другими словами, проблема эквивалентна задаче вопроса «Какова вероятность, что я выберу коробку с двумя монетами одного цвета?».

При построении этого примера Бертран хотел показать, что простой подсчет случаев не всегда является правильным. Вместо этого следует просуммировать вероятности того, что случаи дадут наблюдаемый результат; и эти два метода эквивалентны, только если эта вероятность равна 1 или 0 в каждом случае. Это условие правильно применяется во втором способе решения, но не в первом.

Парадокс в изложении Бертрана

Правильный ответ будет легче понять, если вы рассмотрите парадокс в том виде, в каком его первоначально описал Бертран. После того, как ящик был выбран, но до того, как ящик будет открыт, чтобы вы могли увидеть монету, вероятность равна 2/3 что в ящике две монеты одного вида. Если вероятность «увидеть золотую монету» в сочетании с «в коробке есть две монеты одного вида» равна 1/2, то вероятность «увидеть серебряную монету» в сочетании с «в коробке есть две монеты одного вида» также должна быть 1/2. И если вероятность того, что в коробке будет две одинаковых монеты, изменится на 1/2 независимо от того, какая монета изображена, вероятность должна быть 1/2 даже если вы так не наблюдали за монетой. Поскольку мы знаем, что его вероятность равна 2/3, нет 1/2, перед нами очевидный парадокс. Его можно решить, только осознав, как комбинация «наблюдения за золотой монетой» с каждой возможной коробкой может повлиять только на вероятность того, что коробка была GS или же SS, но нет GG.

Версия карты

Предположим, есть три карты:

А черная карта это черный с обеих сторон,
А белая карта это белое с обеих сторон, и
А смешанная карта это черный с одной стороны и белый с другой.

Все карты помещаются в шляпу, а одна случайным образом вытягивается и кладется на стол. Сторона, обращенная вверх, черная. Каковы шансы, что другая сторона тоже черная?

Ответ в том, что другая сторона черная с вероятностью 2/3. Однако обычная интуиция подсказывает вероятность 1/2 либо потому, что есть две карты с черными на них, которыми может быть эта карта, либо потому, что есть 3 белые и 3 черные стороны, и многие люди забывают исключить возможность «белой карты» в этой ситуации (то есть карты, которую они перевернули не можешь быть «белой картой», потому что черная сторона была перевернута).

В опросе 53 первокурсников по психологии, проходивших вводный курс вероятности, 35 неправильно ответили. 1/2; правильно ответили только 3 студента 2/3.^[1]

Еще одно представление проблемы: выберите случайную карту из трех, каковы шансы, что у нее такой же цвет на другой стороне? Поскольку смешивается только одна карта, а две имеют одинаковый цвет по бокам, легче понять, что вероятность равна 2/3. Также обратите внимание, что утверждение, что цвет черный (или монета золотая) вместо белого, не имеет значения, поскольку он симметричен: ответ такой же для белого. Таков ответ на общий вопрос «одинаковый цвет с обеих сторон».

Предварительные мероприятия

Чтобы решить проблему формально или неформально, необходимо назначить вероятности событиям розыгрыша каждой из шести граней трех карт. Эти вероятности могли быть очень разными; возможно, белая карта больше черной карты или черная сторона смешанной карты тяжелее белой. Формулировка вопроса прямо не решает эти проблемы. Единственные ограничения, подразумеваемые Аксиомы Колмогорова заключаются в том, что все вероятности неотрицательны и в сумме равны 1.

В задачах, когда буквально вытаскивают предметы из шляпы, принято считать, что все вероятности рисования равны. Это заставляет вероятность рисования каждой стороны быть 1/6, поэтому вероятность вытягивания данной карты равна 1/3. В частности, вероятность вытягивания двойной белой карты равна 1/3, а вероятность вытащить другую карту равна 2/3.

Под вопросом, однако, уже была выбрана карта из шляпы, и она показывает черное лицо. На первый взгляд кажется, что существует вероятность 50/50 (т.е. вероятность 1/2), что обратная сторона карты черная, так как это может быть две карты: черная и смешанная. Однако это рассуждение не может использовать всю информацию; известно не только то, что карта на столе имеет хотя бы одну черную лицевую сторону, но также и то, что в популяции, из которой она была выбрана, только 1 из 3 черных лиц была на смешанной карте.

Простое объяснение состоит в том, что называть черные стороны как Икс, у и z куда Икс и у находятся на одной карте, пока z находится на смешанной карте, то вероятность делится на 3 черные стороны: 1/3 каждый. таким образом, вероятность того, что мы выбрали Икс или же у сумма их вероятностей, таким образом 2/3.

Решения

Интуиция

Интуиция подсказывает, что карту выбирают наугад. Однако на самом деле лицо выбирают случайно. Всего имеется 6 лиц, из которых 3 лица белые и 3 лица черные. 2 из 3 черных лиц принадлежат одной карте. Вероятность выбора одного из этих двух лиц равна 2/3. Таким образом, шанс перевернуть карту и найти еще одно черное лицо также велик. 2/3. Другой способ думать об этом заключается в том, что проблема не в вероятности того, что другая сторона черная, а в вероятности того, что вы вытащили полностью черную карту. Если вы нарисовали черную морду, то вероятность того, что эта грань принадлежит черной карте, в два раза выше, чем смешанной карте.

С другой стороны, это можно рассматривать как ставку не на определенный цвет, а как ставку на совпадение сторон. Ставки на определенный цвет, независимо от показанного лица, всегда будут иметь шанс 1/2. Однако ставка на совпадение сторон 2/3, потому что 2 карты совпадают, а 1 нет.

Этикетки

Один из способов решения проблемы - пометить лицевую сторону карты, например, цифрами от 1 до 6.^[2] Обозначьте грани черной карты 1 и 2; маркируйте грани смешанной карты 3 (черный) и 4 (белый); и обозначьте грани белой карты 5 и 6. Наблюдаемое черное лицо может быть 1, 2 или 3, все одинаково вероятны; если 1 или 2, другая сторона черная, а если 3, другая сторона белая. Вероятность того, что другая сторона черная, равна 2/3. Эта вероятность может быть получена следующим образом: пусть случайная величина B равна черному лицу (то есть вероятность успеха, поскольку мы ищем черное лицо). Используя аксиому Колмогорова о том, что все вероятности должны равняться 1, мы можем заключить, что вероятность рисования белого лица равна 1 - P (B). Поскольку P (B) = P (1) + P (2), следовательно, P (B) =1/3 + 1/3 = 2/3. Точно так же мы можем сделать это P (белое лицо) = 1 -2/3 = 1/3.

Теорема Байеса

Учитывая, что показанное лицо является черным, другое лицо будет черным тогда и только тогда, когда карта является черной картой. Если вытянута черная карта, с вероятностью 1 показано черное лицо. Общая вероятность увидеть черное лицо составляет 1/2; общая вероятность вытягивания черной карты равна 1/3. К Теорема Байеса, условная вероятность вытащить черную карту, учитывая, что отображается черное лицо, равна

{ displaystyle { frac {1 times { frac {1} {3}}} { frac {1} {2}}} = { frac {2} {3}}.}

Этот аргумент может быть более интуитивно понятным, если использовать Правило Байеса скорее, чем Теорема Байеса^[3]. Увидев черное лицо, мы можем исключить белую карту. Нас интересует вероятность того, что карта черная при отображении черной лицевой стороны. Первоначально одинаково вероятно, что карта черная и что она смешанная: предыдущие шансы равны 1: 1. Учитывая, что он черный, мы обязательно увидим черное лицо, но учитывая, что он смешанный, мы только на 50% уверены, что увидим черное лицо. Отношение этих вероятностей, называемое отношением правдоподобия или Фактор Байеса, составляет 2: 1. Правило Байеса гласит: «Апостериорные шансы равны предыдущим шансам, умноженным на отношение правдоподобия». Поскольку априорные шансы равны 1: 1, апостериорные шансы равны отношению правдоподобия 2: 1. Теперь вероятность того, что карта будет черной, вдвое выше, чем ее смешанной.

Устранение белой карты

Хотя из-за неправильного решения белая карточка удаляется, эту информацию можно также использовать в правильном решении. При изменении предыдущего метода, учитывая, что белая карта не вытягивается, вероятность увидеть черное лицо равно 3/4, а вероятность вытягивания черной карты равна 1/2. Условная вероятность вытягивания черной карты при отображении черного лица равна

{ displaystyle { frac { left ({ frac {1} {2}} right)} { left ({ frac {3} {4}} right)}} = { frac {2} {3}}.}

Симметрия

Вероятность (без учета отдельных цветов) того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, явно 2/3, поскольку это имеет если и только если выбранная карта - черная или белая, что означает выбор 2 из 3 карт. Симметрия предполагает, что вероятность является независимый выбранного цвета, чтобы информация о том, какой цвет отображается, не влияет на вероятность того, что обе стороны имеют одинаковый цвет.

Этот аргумент верен и может быть формализован следующим образом. Посредством закон полной вероятности, вероятность того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, равна средневзвешенному значению вероятностей того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, при условии, что отображаемый цвет является черным или белым соответственно (веса - это вероятности видя черный и белый соответственно). По симметрии две условные вероятности того, что цвета совпадают, если мы видим черный и белый, одинаковы. Поскольку они, кроме того, в среднем составляют 2/3 они оба должны быть равны 2/3.

Эксперимент

Используя специально сконструированные карточки, выбор можно проверить несколько раз. Пусть «B» обозначает цвет Чернить. Построив дробь с знаменатель количество раз, когда "B" находится сверху, а числитель количество раз, когда обе стороны оказываются "B", экспериментатор будет наверное найти соотношение, чтобы быть рядом 2/3.

Обратите внимание на логический факт, что карта B / B вносит значительно больший (фактически в два раза) вклад в количество раз, когда «B» оказывается сверху. С черно-белой картой всегда есть 50% -ная вероятность того, что W находится наверху, таким образом, в 50% случаев вытягивается черно-белая карта, ничья не влияет ни на числитель, ни на знаменатель и фактически не учитывается (это также верно для все раз W / W тянется, так что эту карту также можно полностью удалить из набора). В конце концов, карты Ч / Б и Ч / Б не имеют равных шансов, потому что в 50% случаев вытягивается Ч / Б, эта карта просто «дисквалифицируется».

Связанные проблемы

Примечания

^ Бар-Гиллель и Фальк (стр. 119)
^ Никерсон (стр. 158) считает это решение «менее запутанным», чем другие методы.
^ Бар-Гиллель и Фальк (стр. 120) выступают за использование Правило Байеса.

внешняя ссылка

Оценка вероятности с помощью случайных ящиков и имен, симуляция

[1]

[2]

[3]