Полиномы Бесселя - Bessel polynomials

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Полиномы Бесселя являются ортогональный Последовательность из многочлены. Существует ряд различных, но тесно связанных определений. Излюбленное математиками определение дается серией (Krall & Frink, 1948)

${displaystyle y_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} {frac {(n + k)!} {(nk)! k!}}, слева ({frac {x} {2 }} ight) ^ {k}}$

Другое определение, предпочитаемое инженерами-электриками, иногда называют обратные многочлены Бесселя (См. Grosswald 1978, Berg 2000).

${displaystyle heta _ {n} (x) = x ^ {n}, y_ {n} (1 / x) = sum _ {k = 0} ^ {n} {frac {(n + k)!} {( nk)! k!}}, {гидроразрыв {x ^ {nk}} {2 ^ {k}}}}$

Коэффициенты второго определения такие же, как и у первого, но в обратном порядке. Например, полином Бесселя третьей степени равен

${displaystyle y_ {3} (x) = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1,}$

а обратный многочлен Бесселя третьей степени равен

${displaystyle heta _ {3} (x) = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 15x + 15,}$

Обратный многочлен Бесселя используется при построении Электронные фильтры Бесселя.

Характеристики

Определение в терминах функций Бесселя.

Многочлен Бесселя также можно определить с помощью Функции Бесселя из которого многочлен получил свое имя.

${displaystyle y_ {n} (x) =, x ^ {n} heta _ {n} (1 / x),}$

${displaystyle y_ {n} (x) = {sqrt {frac {2} {pi x}}}, e ^ {1 / x} K_ {n + {frac {1} {2}}} (1 / x)}$

${displaystyle heta _ {n} (x) = {sqrt {frac {2} {pi}}}, x ^ {n + 1/2} e ^ {x} K_ {n + {frac {1} {2}} }(Икс)}$

куда K_п(Икс) это модифицированная функция Бесселя второго рода, у_п(Икс) - обычный многочлен, а θ_п(Икс) является обратным многочленом (стр. 7 и 34 Grosswald 1978). Например:^[1]

${displaystyle y_ {3} (x) = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1 = {sqrt {frac {2} {pi x}}}, e ^ {1 / x} K_ {3 + {frac {1} {2}}} (1 / x)}$

Определение как гипергеометрическая функция

Многочлен Бесселя также можно определить как конфлюэнтная гипергеометрическая функция (Дита, 2006)

${displaystyle y_ {n} (x) =, _ {2} F_ {0} (- n, n + 1 ;; - x / 2) = left ({frac {2} {x}} ight) ^ {- n} Uleft (-n, -2n, {frac {2} {x}} ight) = left ({frac {2} {x}} ight) ^ {n + 1} Uleft (n + 1,2n + 2 , {frac {2} {x}} ight).}$

Обратный многочлен Бесселя можно определить как обобщенный Полином Лагерра:

${displaystyle heta _ {n} (x) = {frac {n!} {(- 2) ^ {n}}}, L_ {n} ^ {- 2n-1} (2x)}$

из чего следует, что ее также можно определить как гипергеометрическую функцию:

${displaystyle heta _ {n} (x) = {frac {(-2n) _ {n}} {(- 2) ^ {n}}} ,, _ {1} F_ {1} (- n; -2n ; -2x)}$

где (−2п)_п это Символ Поххаммера (возрастающий факториал).

Обращение для мономы дан кем-то

${displaystyle {frac {(2x) ^ {n}} {n!}} = (- 1) ^ {n} sum _ {j = 0} ^ {n} {frac {n + 1} {j + 1} } {j + 1 выберите nj} L_ {j} ^ {- 2j-1} (2x) = {frac {2 ^ {n}} {n!}} sum _ {i = 0} ^ {n} i! (2i + 1) {2n + 1 выберите ni} x ^ {i} L_ {i} ^ {(- 2i-1)} left ({frac {1} {x}} ight).}$

Производящая функция

Полиномы Бесселя со смещенным индексом имеют производящую функцию

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {sqrt {frac {2} {pi}}} x ^ {n + {frac {1} {2}}} e ^ {x} K_ {n- {frac {1} {2}}} (x) {frac {t ^ {n}} {n!}} = 1 + xsum _ {n = 1} ^ {infty} heta _ {n-1} (x) { гидроразрыв {t ^ {n}} {n!}} = e ^ {x (1- {sqrt {1-2t}})}.}$

Дифференцируя по ${displaystyle t}$, отмена ${displaystyle x}$, дает производящую функцию для многочленов ${displaystyle {heta _ {n}} _ {ngeq 0}}$

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} heta _ {n} (x) {frac {t ^ {n}} {n!}} = {frac {1} {sqrt {1-2t}}} e ^ {x (1- {sqrt {1-2t}})}.}$

Рекурсия

Многочлен Бесселя также может быть определен формулой рекурсии:

${displaystyle y_ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle y_ {1} (x) = x + 1,}$

${displaystyle y_ {n} (x) = (2n! -! 1) x, y_ {n-1} (x) + y_ {n-2} (x),}$

и

${displaystyle heta _ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle heta _ {1} (x) = x + 1,}$

${displaystyle heta _ {n} (x) = (2n! -! 1) heta _ {n-1} (x) + x ^ {2} heta _ {n-2} (x),}$

Дифференциальное уравнение

Многочлен Бесселя подчиняется следующему дифференциальному уравнению:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y_ {n} (x)} {dx ^ {2}}} + 2 (x! +! 1) {frac {dy_ {n} (x) } {dx}} - n (n + 1) y_ {n} (x) = 0}$

и

${displaystyle x {frac {d ^ {2} heta _ {n} (x)} {dx ^ {2}}} - 2 (x! +! n) {frac {d heta _ {n} (x)} {dx}} + 2n, heta _ {n} (x) = 0}$

Обобщение

Явная форма

Обобщение многочленов Бесселя было предложено в литературе (Krall, Fink) следующим образом:

${displaystyle y_ {n} (x; alpha, eta): = (- 1) ^ {n} n! left ({frac {x} {eta}} ight) ^ {n} L_ {n} ^ {(1 -2n-alpha)} left ({frac {eta} {x}} ight),}$

соответствующие обратные многочлены

${displaystyle heta _ {n} (x; alpha, eta): = {frac {n!} {(- eta) ^ {n}}} L_ {n} ^ {(1-2n-alpha)} (eta x ) = x ^ {n} y_ {n} left ({frac {1} {x}}; alpha, eta ight).}$

Для весовой функции

${displaystyle ho (x; alpha, eta): =, _ {1} F_ {1} left (1, alpha -1, - {frac {eta} {x}} ight)}$

они ортогональны, так как отношение

${displaystyle 0 = oint _ {c} ho (x; alpha, eta) y_ {n} (x; alpha, eta) y_ {m} (x; alpha, eta) mathrm {d} x}$

относится к м ≠ п и c кривая, окружающая точку 0.

Они специализируются на полиномах Бесселя при α = β = 2, и в этом случае ρ (Икс) = ехр (−2 / Икс).

Формула Родрига для многочленов Бесселя

Формула Родригеса для полиномов Бесселя как частных решений приведенного выше дифференциального уравнения:

${displaystyle B_ {n} ^ {(alpha, eta)} (x) = {frac {a_ {n} ^ {(alpha, eta)}} {x ^ {alpha} e ^ {- {frac {eta} { x}}}}} left ({frac {d} {dx}} ight) ^ {n} (x ^ {alpha + 2n} e ^ {- {frac {eta} {x}}})}$

куда а^{(α, β)}
_п - коэффициенты нормализации.

Ассоциированные полиномы Бесселя

Согласно этому обобщению, мы имеем следующее обобщенное дифференциальное уравнение для ассоциированных многочленов Бесселя:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} B_ {n, m} ^ {(alpha, eta)} (x)} {dx ^ {2}}} + [(alpha +2) x + eta ] {frac {dB_ {n, m} ^ {(alpha, eta)} (x)} {dx}} - слева [n (alpha + n + 1) + {frac {m eta} {x}} ight] B_ {n, m} ^ {(альфа, эта)} (x) = 0}$

куда ${displaystyle 0leq mleq n}$. Решения:

${displaystyle B_ {n, m} ^ {(alpha, eta)} (x) = {frac {a_ {n, m} ^ {(alpha, eta)}} {x ^ {alpha + m} e ^ {- - {frac {eta} {x}}}}} left ({frac {d} {dx}} ight) ^ {nm} (x ^ {alpha + 2n} e ^ {- {frac {eta} {x}} })}$

Особые ценности

Первые пять полиномов Бесселя выражаются как:

${displaystyle {egin {выровнено} y_ {0} (x) & = 1 y_ {1} (x) & = x + 1 y_ {2} (x) & = 3x ^ {2} + 3x + 1 y_ {3} (x) & = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1 y_ {4} (x) & = 105x ^ {4} + 105x ^ {3} + 45x ^ {2 } + 10x + 1 y_ {5} (x) & = 945x ^ {5} + 945x ^ {4} + 420x ^ {3} + 105x ^ {2} + 15x + 1end {выровнено}}}$

Ни один многочлен Бесселя не может быть разложен на многочлены более низкого порядка со строго рациональными коэффициентами.^[2]Пять обратных многочленов Бесселя получаются обращением коэффициентов. ${extstyle heta _ {k} (x) = x ^ {k} y_ {k} (1 / x)}$Это приводит к следующему:

${displaystyle {egin {выровнено} heta _ {0} (x) & = 1 heta _ {1} (x) & = x + 1 heta _ {2} (x) & = x ^ {2} + 3x +3 heta _ {3} (x) & = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 15x + 15 heta _ {4} (x) & = x ^ {4} + 10x ^ {3} + 45x ^ {2} + 105x + 105 heta _ {5} (x) & = x ^ {5} + 15x ^ {4} + 105x ^ {3} + 420x ^ {2} + 945x + 945 end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Функция Бесселя
• Многочлен Неймана
• Многочлен Ломмеля
• Преобразование Ганкеля
• Ряд Фурье – Бесселя

Рекомендации

• "Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)". Основанная в 1964 году Слоаном, Н.Дж.А., OEIS Foundation Inc.CS1 maint: другие (связь) (Смотрите последовательности OEIS: A001497, OEIS: A001498, и OEIS: A104548)
• Берг, Кристиан; Винья, К. (2000). «Коэффициенты линеаризации многочленов Бесселя и свойства распределений Стьюдента» (PDF). Получено 2006-08-16.
• Карлитц, Леонард (1957). «Заметка о многочленах Бесселя». Duke Math. J. 24 (2): 151–162. Дои:10.1215 / S0012-7094-57-02421-3. МИСТЕР  0085360.
• Dita, P .; Грама, Грама, Н. (24 мая 2006 г.). "О методе разложения Адомяна для решения дифференциальных уравнений". arXiv:solv-int / 9705008.
• Fakhri, H .; Chenaghlou, A. (2006). «Лестничные операторы и рекурсивные соотношения для ассоциированных многочленов Бесселя». Письма о физике A. 358 (5–6): 345–353. Bibcode:2006ФЛА..358..345Ф. Дои:10.1016 / j.physleta.2006.05.070.
• Гроссвальд, Э. (1978). Многочлены Бесселя (конспекты лекций по математике). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-09104-4.
• Krall, H.L .; Фринк, О. (1948). «Новый класс ортогональных многочленов: многочлены Бесселя». Пер. Амер. Математика. Soc. 65 (1): 100–115. Дои:10.2307/1990516. JSTOR  1990516.
• Роман, С. (1984). Мрачное исчисление (Многочлены Бесселя, §4.1.7). Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0-486-44139-9.

внешняя ссылка

• «Многочлены Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Бесселя». MathWorld.
• OEIS последовательность A001498 (Треугольник a (n, k) (n> = 0, 0 <= k <= n) коэффициентов многочленов Бесселя y_n (x) (показатели в порядке возрастания))