Двукруглый матроид - Bicircular matroid

в математический предмет чего-либо матроид теория, двукруглый матроид из график грамм это матроид B(грамм), точки которого являются ребрами грамм и чьи независимые множества являются краевыми множествами псевдолеса из грамм, то есть множества ребер, в которых каждое связный компонент содержит не более одного цикл.

Бициркулярный матроид был представлен Симоэс-Перейра (1972) и исследован далее Мэтьюз (1977) и другие. Это частный случай рамка матроид из смещенный график.

Схемы

Схемы или минимальные зависимые множества этого матроида являются двукруглые графы (или же велосипеды, но этот термин имеет другие значения в теории графов); это связные графы, звание цепи ровно два.

Есть три различных типа двукруглого графа:

В тета-график состоит из трех путей, соединяющих одни и те же две вершины, но не пересекающих друг друга.
Граф восьмерки (или тугой наручников) состоит из двух циклов, имеющих только одну общую вершину.
Свободный наручник (или штанга) состоит из двух непересекающихся циклов и минимального соединительного пути.

Все эти определения относятся к мультиграфы, т.е. они допускают несколько ребер (ребра, имеющие одни и те же конечные точки) и петель (ребра, две конечные точки которых являются одной и той же вершиной).

Квартиры

В закрытые наборы (квартиры) двукруглого матроида графа $грамм$ можно описать как леса $F$ из $грамм$ такое, что в индуцированный подграф из $V (грамм) - V (F)$ , каждая связная компонента имеет цикл. Поскольку плоскости матроида образуют геометрическая решетка когда частично заказанный путем включения множества эти леса $грамм$ также образуют геометрическую решетку. В частичном упорядочивании этой решетки $F 1 \leq F 2$ если

каждое дерево компонентов $F 1$ либо содержится в каждом дереве, либо вершинно-не пересекается с ним $F 2$ , и
каждая вершина $F 2$ является вершиной $F 1$ .

Для наиболее интересного примера пусть $грамм о$ быть $грамм$ с добавлением петли к каждой вершине. Тогда квартиры $B (грамм о)$ все леса $грамм$ , охватывающий или нерасширяемый. Таким образом, все леса графа $грамм$ образуют геометрическую решетку, лесная решетка из грамм (Заславский 1982 ).

Как поперечные матроиды

Двукруглые матроиды можно охарактеризовать как поперечные матроиды которые возникают из семейство наборов в котором каждый элемент множества принадлежит не более чем двум множествам. То есть независимые множества матроида - это подмножества элементов, которые могут быть использованы для формирования системы различных представителей для некоторых или всех множеств. В этом описании элементы соответствуют ребрам графа, и есть один набор на вершину, набор ребер, имеющий эту вершину в качестве конечной точки.

Несовершеннолетние

В отличие от поперечных матроидов в целом, двукруглые матроиды образуют минорный закрытый класс; то есть любой субматроид или сокращение двукруглого матроида также является двукруглым матроидом, как видно из их описания с точки зрения предвзятые графики (Заславский 1991 ). Вот описание удаления и сжатия ребра в терминах нижележащего графа: Чтобы удалить ребро из матроида, удалите его из графа. Правило стягивания зависит от того, какой это край. Чтобы сжать ссылку (не петлю) в матроиде, сверните ее в графе обычным способом. Чтобы сократить петлю е в вершине v, Удалить е и v но не другие ребра, инцидентные v; скорее, каждое ребро, связанное с v и еще одна вершина ш становится петлей в ш. Любые другие петли графа в v стать матроидными петлями - чтобы правильно описать это в терминах графа, нужны полуребра и рыхлые ребра; видеть необъективный граф миноры.

Характеристический полином

В характеристический многочлен двукруглого матроида B(грамм ^о) просто выражает числа покрывающих леса (леса, содержащие все вершины грамм) каждого размера в грамм. Формула

{displaystyle p_ {B (G)} (лямбда): = сумма _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} f_ {k} (lambda -1) ^ {n-k},}

куда ж_k равно количеству k-крайные леса в грамм. Видеть Заславский (1982).

Векторное представление

Двукруглые матроиды, как и все другие поперечные матроиды, могут быть представлен векторами по любым бесконечным поле. Однако в отличие от графические матроиды, они не обычный: они не могут быть представлены векторами над произвольным конечное поле. Вопрос о полях, над которыми бициркулярный матроид имеет векторное представление, приводит к в значительной степени нерешенной проблеме поиска полей, над которыми граф имеет мультипликативное представление. прибыль. Видеть Заславский (2007).