Смещенный график - Biased graph

В математика, а смещенный график это график со списком выделенных окружностей (множества ребер простые циклы ), такая, что если два круга в списке содержатся в тета-график, то третий кружок тета-графа также находится в списке. Смещенный граф - это обобщение комбинаторных основ график усиления и, в частности, подписанный граф.

Формально смещенный график Ω - пара (грамм, B) где B это линейный класс кругов; это по определению класс кругов, который удовлетворяет упомянутому выше свойству тета-графа.

А подграф или набор ребер, все круги которого находятся в B (и который не содержит полуребра ) называется сбалансированный. Например, круг, принадлежащий B является сбалансированный и тот, который не принадлежит B является неуравновешенный.

Смещенные графики интересны прежде всего тем, что матроиды, но также из-за их связи с множественными квазигруппы. Смотри ниже.

Технические примечания

Смещенный график может иметь полуребра (одна конечная точка) и свободные края (без конечных точек). Ребра с двумя конечными точками бывают двух типов: ссылка имеет две различные конечные точки, а цикл имеет две совпадающие конечные точки.

Линейные классы окружностей являются частным случаем линейных подклассов схем в матроид.

Примеры

Если каждый круг принадлежит B, и полуребер нет, Ω сбалансировано. Сбалансированный смещенный граф (для большинства целей) практически такой же, как и обычный граф.
Если B пусто, Ω называется уравновешенный. Графики с несбалансированными смещениями связаны с двукруглые матроиды.
Если B состоит из кругов четной длины, Ω называется несбалансированный и - смещенный график, полученный из полностью отрицательного подписанный граф.
Линейный класс B является добавка, то есть закрыто при повторном симметричная разница (когда результат - круг), если и только если B - класс положительных окружностей графа со знаком.
Ω может иметь нижележащий граф, представляющий собой цикл длины п ≥ 3 со всеми ребрами вдвое. Назовите это предвзято 2C_п . Такие предвзятые графики, в которых нет Digon (круг длиной 2) сбалансирован, ведет к шипам и завиткам (см. Матроиды ниже).
Некоторые виды смещенных графиков получаются из графики усиления или являются обобщениями специальных видов графа усиления. К последним относятся смещенные графики расширения, которые обобщают графы расширения групп.

Несовершеннолетние

А незначительный смещенного графа Ω = (грамм, B) является результатом любой последовательности взятия подграфов и стягивающих множеств ребер. Для смещенных графов, как и для графов, достаточно взять подграф (который может быть целым графом), а затем сжать набор ребер (который может быть пустым набором).

А подграф области Ω состоит из подграфа ЧАС нижележащего графа грамм, с классом сбалансированного круга, состоящего из тех сбалансированных кругов, которые ЧАС. В удаление набора кромок S, написано Ω - S, - подграф со всеми вершинами и всеми ребрами, кроме S.

Сокращение области Ω относительно сложно. Сжать один край е, порядок действий зависит от типа кромки е является. Если е это ссылка, заключите ее в грамм. Круг C в сокращении грамм/е сбалансирован, если C или ${ displaystyle C cup e}$ это сбалансированный круг грамм. Если е это уравновешенная петля или свободный край, его просто удаляют. Если это несбалансированная петля или полуребро, то она и ее вершина v удалены; друг другу края с v поскольку конечная точка теряет эту конечную точку, поэтому ссылка с v поскольку одна конечная точка становится полуребром на другой конечной точке, в то время как петля или полуребро на v становится рыхлым краем.

В сжатии Ω /S произвольным множеством ребер S, набор ребер E − S. (Мы позволяем грамм = (V, E).) Множество вершин - это класс множеств вершин сбалансированных компонент подграфа (V, S) области Ω. То есть, если (V, S) имеет сбалансированные компоненты с множествами вершин V₁, ..., V_k, то Ω /S имеет k вершины V₁, ..., V_k . Край е Ω, а не в S, становится ребром Ω /S и каждая конечная точка v_я из е в Ω, принадлежащей некоторому V_я становится конечной точкой V_я из е в Ω /S ; таким образом, конечная точка е что не входит в сбалансированный компонент (V, S) исчезает. Ребро со всеми конечными точками в несбалансированных компонентах (V, S) становится слабым звеном в сжатии. Ребро только с одной конечной точкой в сбалансированном компоненте (V, S) становится полуребром. Ребро с двумя конечными точками, принадлежащими разным сбалансированным компонентам, становится связью, а ребро с двумя конечными точками, принадлежащими одному и тому же сбалансированному компоненту, становится петлей.

Матроиды

Есть два вида матроид связаны со смещенным графом, оба из которых обобщают циклический матроид графа (Заславский, 1991).

Рамочный матроид

В рамка матроид (иногда называют смещение матроида) смещенного графа, M(Ω), (Заславский, 1989) за основу положено множество ребер E. Набор ребер является независимым, если каждый компонент не содержит кругов или только один круг, который неуравновешен. (В теории матроидов полуребро действует как несбалансированная петля, а свободная кромка действует как сбалансированная петля.) M(Ω) является рамка матроид в абстрактном смысле, что означает, что это субматроид матроида, в котором, по крайней мере, для одного базиса набор линий, генерируемых парами базовых элементов, покрывает весь матроид. И наоборот, каждый абстрактный матроид фреймов является матроидом фреймов некоторого смещенного графа.

Схемы матроида называются каркасные схемы или схемы смещения. Всего четыре вида. Один - это сбалансированный круг. Два других вида представляют собой пару несбалансированных кругов вместе с соединяющим простым путем, так что два круга либо не пересекаются (тогда соединительный путь имеет один общий конец с каждым кругом и в противном случае не пересекается с обоими), либо имеют только один общий вершина (в данном случае соединяющим путем является эта единственная вершина). Четвертый вид схем - это тета-граф, в котором каждый круг неуравновешен.

Ранг набора ребер S является п − б, где п количество вершин грамм и б количество сбалансированных компонентов S, считая изолированные вершины сбалансированными компонентами.

Миноры рамочного матроида согласуются с минорами смещенного графа; это, M(Ω−S) = M(Ом) -S и M(Ω /S) = M(Ом) /S.

Матроиды кадра обобщают Геометрии Даулинга связан с группой (Доулинг, 1973). Рамочный матроид смещенного 2C_п (см. Примеры выше), не имеющий сбалансированных дигонов, называется Водоворот. Это важно в теории структуры матроидов.

Подъемный матроид

В матроид с увеличенным лифтом L₀(Ω) имеет в качестве основы множество E₀, который является объединением E с дополнительный балл е₀. В поднять матроид L(Ω) - матроид с расширенным лифтом, ограниченный на E. Дополнительная точка действует точно так же, как несбалансированная петля или полуребро, поэтому мы описываем только подъемный матроид.

Набор ребер является независимым, если он не содержит окружностей или только один круг, который неуравновешен.

Схема представляет собой сбалансированный круг, пару несбалансированных кругов, которые либо не пересекаются, либо имеют только общую вершину, либо тета-граф, все круги которого неуравновешены.

Ранг набора ребер S является п − c + ε, где c количество компонентов S, считая изолированные вершины, и ε равно 0, если S сбалансировано и 1, если нет.

Миноры матроидов лифта и расширенного лифта частично согласуются с минорами смещенного графика. При удалении согласны: L(Ω−S) = L(Ом) -S. Сокращения согласуются только для сбалансированных наборов ребер: M(Ω /S) = M(Ом) /S если S сбалансирован, но не если он не сбалансирован. Если S неуравновешенный, M(Ω /S) = M(грамм)/S = M(грамм/S) где M графа обозначает обычный графический матроид.

Подъемный матроид из 2C_п (см. Примеры выше), который не имеет сбалансированных дигонов, называется шип. Шипы очень важны в теории структуры матроидов.

Многокомпонентные квазигруппы

Так же, как групповое расширение полного графа K_п кодирует группу (см. Геометрия Даулинга ), его комбинаторный аналог, расширяющий простой цикл длины п + 1 кодирует п-ary (множественный) квазигруппа. Доказать теоремы о многомерных квазигруппах можно с помощью смещенных графов (Заславский, т.