Геометрия Даулинга - Dowling geometry

В комбинаторный математика, а Геометрия Даулинга, названный в честь Томаса А. Доулинга, является матроид связанный с группа. Для каждой группы существует геометрия Даулинга каждого ранга. Если ранг не меньше 3, геометрия Даулинга однозначно определяет группу. Геометрии Даулинга играют важную роль в теории матроидов как универсальные объекты (Кан и Кунг, 1982); в этом отношении они аналогичны проективные геометрии, но на основе групп вместо поля.

А Решетка Даулинг это геометрическая решетка из квартиры связанный с геометрией Даулинга. Решетка и геометрия математически эквивалентны: знание одного определяет другое. Решетки Даулинга и, как следствие, геометрии Даулинга были введены Доулингом (1973a, b).

Решетка Даулинга или геометрия ранга п группы грамм часто обозначается Q_п(грамм).

Исходные определения

В своей первой статье (1973a) Доулинг определил рангп Решетка Даулинга мультипликативной группы конечное поле F. Это набор всех этих подпространств векторное пространство F^п которые порождаются подмножествами множества E состоящий из векторов с не более чем двумя ненулевыми координатами. Соответствующая геометрия Даулинга - это набор одномерных векторных подпространств, порожденных элементами E.

В своей второй статье (1973b) Доулинг дал внутреннее определение ранга -п Решетка Даулинга любой конечной группы грамм. Позволять S - множество {1, ...,п}. А грамм-маркированный набор (Т, α) - это множество Т вместе с функция α: Т → грамм. Два грамм-маркированные наборы, (Т, α) и (Т, β), находятся эквивалент если есть групповой элемент, грамм, так что β = gα. Класс эквивалентности обозначается [Т, α] .A частичный грамм-раздел из S это набор γ = {[B₁,α₁], ..., [B_k,α_k]} классов эквивалентности граммпомеченные наборы, такие что B₁, ..., B_k непустые подмножества S попарно не пересекающиеся. (k может равняться 0.) Частичное грамм-раздел γ называется ≤ другой, γ*, если

• каждый блок второго является объединением блоков первого, и
• для каждого B_я содержалась в B*_j, α_я эквивалентно ограничению α*_j в домен B_я .

Это дает частичный заказ набора всех частичных грамм-разделы S. Получающееся частично упорядоченное множество представляет собой решетку Даулинга Q_п(грамм).

Определения действительны, даже если F или же грамм бесконечно, хотя Даулинг упомянул только конечные поля и группы.

Графические определения

Затем Дубиле дал графическое определение: Рота, и Стэнли (1972). Мы даем немного более простое (но по существу эквивалентное) графическое определение Заславского (1991), выраженное в терминах графики усиления.

Брать п вершины, а между каждой парой вершин, v и ш, берем набор |грамм| параллельные края помечены каждым из элементов группы грамм. Края ориентированы в том случае, если этикетка в направлении от v к ш это групповой элемент грамм, то метка того же ребра в обратном направлении, от ш к v, является грамм⁻¹. Таким образом, метка кромки зависит от направления кромки; такие ярлыки называются прибыль. Также добавьте к каждой вершине цикл, усиление которого равно любому значению, кроме 1. (1 - группа элемент идентичности.) Это дает график, который называется GK_п^о (обратите внимание на выпуклый кружок).

А цикл в графике то есть выигрыш. Цикл - это последовательность ребер, е₁е₂···е_k. Предположим, что прирост этих ребер в фиксированном направлении цикла равен грамм₁, грамм₂, ..., грамм_k. Тогда прирост цикла - это продукт, грамм₁грамм₂···грамм_k. Значение этого усиления не совсем точно определено, поскольку оно зависит от направления, выбранного для цикла, и от того, которое называется «первым» краем цикла. То, что не зависит от этих вариантов, является ответом на следующий вопрос: равен коэффициент усиления 1 или нет? Если он равен 1 для одного набора вариантов, то он также равен 1 для всех наборов вариантов.

Чтобы определить геометрию Даулинга, мы указываем схемы (минимальные зависимые множества). Схемы матроида

• циклы с коэффициентом усиления 1,
• пары циклов, у которых оба выигрыша не равны 1, и которые пересекаются в одной вершине и ни в чем другом, и
• то тета-графики в котором ни один из трех циклов не имеет усиления, равного 1.

Таким образом, геометрия Даулинга Q_п(грамм) это рамка матроид или (матроид смещения) графика усиления GK_п^о (выпуклый кружок означает наличие петель). Другие, эквивалентные определения описаны в статье о графики усиления.

Характеристический полином

Одна из причин интереса к решеткам Даулинга заключается в том, что характеристический многочлен очень просто. Если L решетка Даулинга ранга п конечной группы грамм имея м элементы, то

${displaystyle p_ {L} (y) = (y-1) (y-m-1) cdots (y- [n-1] m-1),}$

исключительно простая формула для любой геометрической решетки.

Обобщения

Существует также геометрия Даулинга только ранга 3, связанная с каждым квазигруппа; см. Доулинг (1973b). Это не распространяется прямо на более высокие ранги. Есть обобщение Заславского (2012), которое включает п-арные квазигруппы.

Рекомендации

• Питер Дубилет, Джан-Карло Рота и Ричард П. Стэнли (1972), Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функции. В: Труды Шестого симпозиума Беркли по математической статистике и теории вероятностей (Беркли, Калифорния, 1970/71), т. II: Теория вероятностиС. 267–318. Калифорнийский университет Press, Беркли, Калифорния, 1972.
• Т.А. Даулинг (1973a), А q-аналог решетки перегородки. Глава 11 в: J.N. Шривастава и др., Ред., Обзор комбинаторной теории (Материалы международного симпозиума, Форт-Коллинз, Колорадо, 1971), стр. 101–115. Северная Голландия, Амстердам, 1973 год.
• Т.А. Доулинг (1973b), Класс геометрических решеток, основанный на конечных группах. Журнал комбинаторной теории, серия B, Vol. 14 (1973), стр. 61–86.
• Кан, Джефф и Кунг, Джозеф П.С. (1982), Разновидности комбинаторных геометрий. Труды Американского математического общества, Vol. 271. С. 485–499.
• Томас Заславский (1991), Смещенные графики. II. Три матроида. Журнал комбинаторной теории, серия B, Vol. 51. С. 46–72.
• Томас Заславский (2012), Ассоциативность в многомерных квазигруппах: путь смещенных разложений. "Aequationes Mathematicae ", Том 83, № 1. С. 1–66.